Aussagenlogik/Maximal widerspruchsfrei/Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

(1). Wegen der Widerspruchsfreiheit können nicht sowohl als auch zu gehören. Wenn weder noch zu gehören, so ist entweder oder widerspruchsfrei. Wären nämlich beide widersprüchlich, so würde für einen beliebigen Ausdruck sowohl

als auch

gelten. Dies bedeutet nach Aufgabe

und

woraus aufgrund der Fallunterscheidungsregel

folgt. Dies bedeutet aber, dass widersprüchlich ist.
(2). Sei . Nach (1) ist oder . Das zweite kann nicht sein, da sich daraus sofort ein Widerspruch ergeben würde. Also ist .
(3) folgt aus (2) und der Konjunktionsregel.
(4). Aufgrund von (1) müssen wir die Äquivalenz genau dann, wenn und zeigen. Dies ergibt sich aus (3).

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