Aussagenlogik/Maximal widerspruchsfrei/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Wegen der Widerspruchsfreiheit können nicht sowohl $\alpha$ als auch $\mathrm{\neg }\alpha$ zu $\Gamma$ gehören. Wenn weder $\alpha$ noch $\mathrm{\neg }\alpha$ zu $\Gamma$ gehören, so ist entweder $\Gamma \cup \{\alpha \}$ oder $\Gamma \cup \{\mathrm{\neg }\alpha \}$ widerspruchsfrei. Wären nämlich beide widersprüchlich, so würde für einen beliebigen Ausdruck $\beta$ sowohl

$\Gamma \cup \{\alpha \}⊢\beta$

als auch

$\Gamma \cup \{\mathrm{\neg }\alpha \}⊢\beta$

gelten. Dies bedeutet nach Aufgabe

$\Gamma ⊢\alpha \to \beta$

und

$\Gamma ⊢\mathrm{\neg }\alpha \to \beta ,$

woraus aufgrund der Fallunterscheidungsregel

$\Gamma ⊢\beta$

folgt. Dies bedeutet aber, dass $\Gamma$ widersprüchlich ist.
(2). Es sei $\Gamma ⊢\alpha$. Nach (1) ist $\alpha \in \Gamma$ oder $\mathrm{\neg }\alpha \in \Gamma$. Das zweite kann nicht sein, da sich daraus sofort ein Widerspruch ergeben würde. Also ist  $\alpha \in \Gamma$. 
(3) folgt aus (2) und der Konjunktionsregel.
(4). Aufgrund von (1) und Aufgabe müssen wir die Äquivalenz  $\mathrm{\neg }(\alpha \to \beta )\in \Gamma$  genau dann, wenn  $\alpha \in \Gamma$  und  $\mathrm{\neg }\beta \in \Gamma$  zeigen. Dies ergibt sich aus (3).

Zur bewiesenen Aussage