Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Abzählbar/Auffüllungsstrategie/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}p_{n}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, eine (surjektive, aber nicht notwendigerweise injektive) Aufzählung der Aussagenvariablen. Die Voraussetzung bedeutet, dass ${}\Gamma _{0}:=\Gamma ^{\vdash }$ keinen Widerspruch enthält. Wir konstruieren eine (endliche oder abzählbar unendliche) Folge von aufsteigenden widerspruchsfreien Teilmengen ${}\Gamma _{n}\subseteq \Gamma _{n+1}$, wobei in ${}\Gamma _{n}$ für jede Variable ${}p_{i}$, ${}1\leq i\leq n$, die Alternative entweder ${}p_{i}\in \Gamma _{n}$ oder${}\neg p_{i}\in \Gamma _{n}$ gilt. Das Konstruktionsverfahren definieren und diese Aussage beweisen wir durch Induktion über ${}n\in \mathbb {N}$. Für ${}\Gamma _{0}$ ist dies richtig. Es sei ${}\Gamma _{n}$ schon konstruiert. Bei ${}p_{n+1}\in \Gamma _{n}$ oder ${}\neg p_{n+1}\in \Gamma _{n}$ setzen wir

${}\Gamma _{n+1}:=\Gamma _{n}\,.$

Wegen der Widerspruchsfreiheit von ${}\Gamma _{n}$ können nicht sowohl ${}p_{n+1}$ als auch ${}\neg p_{n+1}$ zu ${}\Gamma _{n}$ gehören. Wenn weder ${}p_{n+1}$ noch ${}\neg p_{n+1}$ zu ${}\Gamma _{n}$ gehören, so setzen wir

${}\Gamma _{n+1}:={\left(\Gamma _{n}\cup {p_{n+1}}\right)}^{\vdash }\,$

(man könnte genauso gut ${}\neg p_{n+1}$ hinzunehmen). Nach Konstruktion ist ${}\Gamma _{n+1}$ abgeschlossen unter der Ableitungsbeziehung und erfüllt die (Oder)-Alternative für alle Variablen ${}p_{i}$, ${}i\leq n+1$. Wenn ${}\Gamma _{n+1}$ widersprüchlich wäre, so gelte insbesondere ${}\Gamma _{n}\cup \{p_{n+1}\}\vdash \neg p_{n+1}$. Dann würde aber auch ${}\Gamma _{n}\vdash p_{n+1}\rightarrow \neg p_{n+1}$ gelten und somit nach der Fallunterscheidungsregel auch ${}\Gamma _{n}\vdash \neg p_{n+1}$, also ${}\neg p_{n+1}\in \Gamma _{n}$ im Widerspruch zu dem Fall, in dem wir uns befinden. Daher liegt für die Aussagenvariablen auch die Entweder-Oder-Alternative vor.

Mit dieser induktiven Definition setzen wir

${}\Gamma ':=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\Gamma _{n}\,.$

Diese Menge ${}\Gamma '$ ist widerspruchsfrei, da andernfalls schon eines der ${}\Gamma _{n}$ einen Widerspruch enthalten würde, und auch abgeschlossen unter Ableitungen, da dies für die einzelnen ${}\Gamma _{n}$ gilt und eine Ableitung nur endlich viele Voraussetzungen besitzt. Ferner gilt für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ die Alternative ${}p_{n}\in \Gamma '$ oder ${}\neg p_{n}\in \Gamma '$. Damit sind die Voraussetzungen von Fakt erfüllt und ${}\Gamma '$ ist maximal widerspruchsfrei.

Zur bewiesenen Aussage