Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Beliebiger Fall/Fakt/Beweis

Beweis

Dass die Ableitungsbeziehung die Folgerungsbeziehung impliziert, wurde bereits im Rahmen der Korrektheitsüberlegungen zu den Ableitungsregeln gezeigt. Für die Umkehrung nehmen wir $\mathrm{\Gamma }⊬\alpha$ an. Dies bedeutet nach Aufgabe, dass $\mathrm{\Gamma }\cup \{\mathrm{\neg }\alpha \}$ widerspruchsfrei ist. Nach Fakt ist dann auch $\mathrm{\Gamma }\cup \{\mathrm{\neg }\alpha \}$ erfüllbar. Es gibt also eine Wahrheitsbelegung mit $I\models \mathrm{\Gamma }$ und $I\models \mathrm{\neg }\alpha$. Also ist $\mathrm{\Gamma }\models ̸\alpha$.

Zur bewiesenen Aussage