Aussagenlogik/Wahrheitsbelegung/Interpretation/Definition

Interpretation (Aussagenlogik)

Es sei $V$ eine Menge von Variablen, $L^V$ die zugehörige aussagenlogische Sprache und

$\lambda :V⟶\{0,1\}$

eine Wahrheitsbelegung. Unter der zugehörigen Interpretation  $I=I^{\lambda }$  versteht man die über den rekursiven Aufbau der Sprache festgelegte Abbildung

$I:L^V⟶\{0,1\}$

mit

1.  $I(v)=\lambda (v)$  für jede Aussagenvariable $v\in V$.
2. Bei  $\alpha =\mathrm{\neg }(\beta )$  ist

   $I(\alpha )=\{\begin{array}{c}1,\text{ falls }I(\beta )=0,\\ 0,\text{ falls }I(\beta )=1.\end{array}$

3. Bei  $\alpha =(\beta )\wedge (\gamma )$  ist

   $I(\alpha )=\{\begin{array}{c}1,\text{ falls }I(\beta )=I(\gamma )=1,\\ 0\text{ sonst}.\end{array}$

4. Bei  $\alpha =(\beta )\vee (\gamma )$  ist

   $I(\alpha )=\{\begin{array}{c}1,\text{ falls }I(\beta )=1\text{ oder }I(\gamma )=1,\\ 0,\text{ falls }I(\beta )=I(\gamma )=0.\end{array}$

5. Bei  $\alpha =(\beta )\to (\gamma )$  ist

   $I(\alpha )=\{\begin{array}{c}1,\text{ falls }I(\beta )=0\text{ oder }I(\gamma )=1,\\ 0,\text{ falls }I(\beta )=1\text{ und }I(\gamma )=0.\end{array}$

6. Bei  $\alpha =(\beta )\leftrightarrow (\gamma )$  ist

   $I(\alpha )=\{\begin{array}{c}1,\text{ falls }I(\beta )=I(\gamma ),\\ 0,\text{ falls }I(\beta )\ne I(\gamma ).\end{array}$