Aussagenlogik/Wahrheitsbelegung/Interpretation/Definition

Interpretation (Aussagenlogik)

Es sei ${}V$ eine Menge von Variablen, ${}L^{V}$ die zugehörige aussagenlogische Sprache und

$\lambda \colon V\longrightarrow \{0,1\}$

eine Wahrheitsbelegung. Unter der zugehörigen Interpretation  ${}I=I^{\lambda }$  versteht man die über den rekursiven Aufbau der Sprache festgelegte Abbildung

$I\colon L^{V}\longrightarrow \{0,1\}$

mit

1.  ${}I(v)=\lambda (v)$  für jede Aussagenvariable ${}v\in V$.
2. Bei  ${}\alpha =\neg (\beta )$  ist

   ${}I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=0\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )=1\,.\end{cases}}\,$

3. Bei  ${}\alpha =(\beta )\wedge (\gamma )$  ist

   ${}I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=I(\gamma )=1\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

4. Bei  ${}\alpha =(\beta )\vee (\gamma )$  ist

   ${}I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=1{\text{ oder }}I(\gamma )=1\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )=I(\gamma )=0\,.\end{cases}}\,$

5. Bei  ${}\alpha =(\beta )\rightarrow (\gamma )$  ist

   ${}I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=0{\text{ oder }}I(\gamma )=1\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )=1{\text{ und }}I(\gamma )=0\,.\end{cases}}\,$

6. Bei  ${}\alpha =(\beta )\leftrightarrow (\gamma )$  ist

   ${}I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=I(\gamma )\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )\neq I(\gamma )\,.\end{cases}}\,$