Basiswechsel/Übergangsmatrix/Gemischtes/Bemerkung

In der ${}j$-ten Spalte der Transformationsmatrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$ stehen die Koordinaten von ${}v_{j}$ bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$. Der Vektor ${}v_{j}$ hat bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}e_{j}$, und wenn man die Matrix auf ${}e_{j}$ anwendet, erhält man die ${}j$-te Spalte der Matrix, und diese ist eben das Koordinatentupel von ${}v_{j}$ in der Basis ${}{\mathfrak {w}}$. Bei einem eindimensionalen Raum mit

${}v=cw\,$

ist ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}=c={\frac {v}{w}}$, wobei der Bruch in der Tat wohldefiniert ist und wodurch man sich die Reihenfolge der Basen in dieser Schreibweise merken kann. Eine weitere Beziehung ist

${}{\mathfrak {v}}={{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\right)}^{\text{tr}}}{\mathfrak {w}}\,,$

wobei hier die Matrix aber nicht auf ein ${}n$-Tupel aus ${}K$, sondern auf ein ${}n$-Tupel aus ${}V$ angewendet wird und sich ein neues ${}n$-Tupel aus ${}V$ ergibt. Dies könnte man als Argument dafür ansehen, die Übergangsmatrix direkt als ihre Transponierte anzusetzen, doch betrachtet man das in Fakt beschriebene Transformationsverhalten als ausschlaggebend.

Wenn

${}V=K^{n}\,$

und ${}{\mathfrak {e}}$ die Standardbasis davon ist und ${}{\mathfrak {v}}$ eine weitere Basis, so erhält man die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {e}}$ von ${}{\mathfrak {e}}$ nach ${}{\mathfrak {v}}$, indem man ${}e_{j}$ als Linearkombination der Basisvektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ausdrückt und die entsprechenden Tupel als Spalten nimmt. Dagegen besteht ${}M_{\mathfrak {e}}^{\mathfrak {v}}$ einfach aus den ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ als Spalten geschrieben.