Sei
T
=
{
p
1
,
…
,
p
k
}
{\displaystyle T=\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}}
|
p
−
s
|
<
1
{\displaystyle |p^{-s}|<1}
geometrischen Reihe ergibt sich
∏
p
∈
T
1
1
−
p
−
s
{\displaystyle \prod _{p\in T}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
=
{\displaystyle =}
Einfache Produktauflösung
1
1
−
p
1
−
s
⋯
1
1
−
p
k
−
s
{\displaystyle {\frac {1}{1-p_{1}^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p_{k}^{-s}}}}
=
{\displaystyle =}
Lemma
(
∑
i
=
0
∞
(
p
1
−
s
)
i
)
⋯
(
∑
i
=
0
∞
(
p
k
−
s
)
i
)
{\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{1}^{-s})^{i}\right)\cdots \left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{k}^{-s})^{i}\right)}
=
{\displaystyle =}
Umformulierung des Produktes der Summen. Oberer Ausdruck ist das Produkt über den Summen aller möglichen Potenzen der
p
k
−
s
{\displaystyle p_{k}^{-s}}
p
k
−
s
{\displaystyle p_{k}^{-s}}
∑
0
≤
i
1
,
…
,
i
k
<
∞
(
p
1
−
s
)
i
1
⋯
(
p
k
−
s
)
i
k
{\displaystyle \sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{-s})^{i_{1}}\cdots (p_{k}^{-s})^{i_{k}}}
=
{\displaystyle =}
Potenzrechengesetze:
(
x
l
)
k
=
(
x
k
)
l
{\displaystyle (x^{l})^{k}=(x^{k})^{l}}
x
1
k
⋅
x
2
k
=
(
x
1
⋅
x
2
)
k
{\displaystyle {x_{1}}^{k}\cdot {x_{2}}^{k}=(x_{1}\cdot x_{2})^{k}}
∑
0
≤
i
1
,
…
,
i
k
<
∞
(
p
1
i
1
⋯
p
k
i
k
)
−
s
{\displaystyle \sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{i_{1}}\cdots p_{k}^{i_{k}})^{-s}}
=
{\displaystyle =}
Die Summe über allen möglichen Produkten der
p
∈
T
{\displaystyle p\in T}
p
{\displaystyle p}
n
∈
M
(
T
)
{\displaystyle n\in M(T)}
∑
n
∈
M
(
T
)
n
−
s
{\displaystyle \sum _{n\in M(T)}n^{-s}}
