Beschränkte Funktionen/Supremumsnorm/Normeigenschaften/Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge und

${}M={\left\{f:T\rightarrow {\mathbb {C} }\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf ${}T$. Zeige, dass die Supremumsnorm auf ${}M$ folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}\Vert {f}\Vert \geq 0$ für alle ${}f\in M$.
2. ${}\Vert {f}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}f=0$ ist.
3. Für ${}\lambda \in {\mathbb {C} }$ und ${}f\in M$ gilt

   ${}\Vert {\lambda f}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {f}\Vert \,.$

4. Für ${}g,f\in M$ gilt

   ${}\Vert {g+f}\Vert \leq \Vert {g}\Vert +\Vert {f}\Vert \,.$

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