Bildmaß/Allgemeine Transformationsformel/Fakt/Beweis

Beweis

Für nichtnegatives $f$ ergibt sich dies unter Verwendung von Aufgabe und Aufgabe aus

$\begin{array}{cc}{\int }_{N}fd\nu & =(\nu \otimes {\lambda }^1)(S(f))\\ & =\left({(\phi \times \mathrm{Id})}_{\ast }(\mu \otimes {\lambda }^1)\right)(S(f))\\ & =(\mu \otimes {\lambda }^1)({(\phi \times \mathrm{Id})}^{-1}(S(f)))\\ & =(\mu \otimes {\lambda }^1)(S(f\circ \phi ))\\ & ={\int }_M(f\circ \phi )d\mu .\end{array}$

Daraus ergibt sich auch der allgemeine Fall.

Zur bewiesenen Aussage