Bildmaß/Allgemeine Transformationsformel/Fakt/Beweis

Beweis

Für nichtnegatives ${}f$ ergibt sich dies unter Verwendung von Aufgabe und Aufgabe aus

{}{\begin{aligned}\int _{N}f\,d\nu &={\left(\nu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\\&={\left({\left(\varphi \times \operatorname {Id} \right)}_{*}{\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}\right)}(S(f))\\&={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left({\left(\varphi \times \operatorname {Id} \right)}^{-1}(S(f))\right)}\\&={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f\circ \varphi ))\\&=\int _{M}(f\circ \varphi )\,d\mu .\end{aligned}}

Daraus ergibt sich auch der allgemeine Fall.