Bilinearform/Direkte Summe/Gramsche Matrix/Typ/Aufgabe/Lösung

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  1. Wegen
    ist die Abbildung symmetrisch. Daher genügt es, die Linearität in der ersten Komponente zu zeigen. Diese ergibt sich aus
    Die Orthogonalität ergibt sich aus
  2. Es seien und die Basen und entsprechend die zusammengesetzte Basis von . Die Einträge der Gramschen Matrix von sind

    so dass die Blockgestalt aus den einzelnen Gramschen Matrizen vorliegt.

  3. Wir ziehen den Sylvesterschen Trägheitssatz heran. Es seien beide Basen Orthogonalbasen, die zusammengesetzte Basis ist dann ebenfalls eine Orthogonalbasis. Im ersten Block stehen dann in der Diagonale Einsen, Minuseinsen und Nullen und im zweiten Block stehen in der Diagonale Einsen, Minuseinsen und Nullen. Insgesamt stehen dort also Einsen und Minuseinsen.
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