Bilinearform/Direkte Summe/Gramsche Matrix/Typ/Aufgabe

Es seien ${}U$ und ${}V$ endlichdimensionale ${}\mathbb {R}$-Vektorräume mit symmetrischen Bilinearformen ${}\Psi _{U}$ und ${}\Psi _{V}$.

1. Zeige, dass auf ${}U\oplus V$ durch

   ${}\Theta ((u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}))=\Psi _{U}(u_{1},u_{2})+\Phi _{V}(v_{1},v_{2})\,$

   eine symmetrische Bilinearform gegeben ist, und dass dabei ${}U$ und ${}V$ orthogonal zueinander sind.

2. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix von ${}\Psi _{U}$ bezüglich einer Basis von ${}U$ und ${}H$ die Gramsche Matrix von ${}\Psi _{V}$ bezüglich einer Basis von ${}V$. Zeige, dass die Blockmatrix aus ${}G$ und ${}H$ die Gramsche Matrix von ${}\Theta$ bezüglich der zusammengesetzten Basis ist.
3. Der Typ der Bilinearformen sei ${}(p,q)$ bzw. ${}(p',q')$. Zeige, dass der Typ von ${}\Theta$ gleich ${}(p+p',q+q')$ ist.

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