Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Trägheitssatz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Bezüglich einer Orthogonalbasis $u_1,\dots ,u_n$ von $V$ (die es nach Fakt gibt) hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt. Es sei $p^{\prime }$ die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und $q^{\prime }$ die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten $p^{\prime }$ Diagonaleinträge positiv, die folgenden $q^{\prime }$ Diagonaleinträge negativ und die übrigen $0$ seien. Auf dem $p^{\prime }$-dimensionalen Unterraum  $U=⟨u_1,\dots ,u_{p^{\prime }}⟩$  ist die eingeschränkte Bilinearform positiv definit, sodass  $p^{\prime }\le p$  gilt. Es sei  $W=⟨u_{p^{\prime }+1},\dots ,u_n⟩$,  auf diesem Unterraum ist die Bilinearform negativ semidefinit. Dabei ist  $V=U\oplus W$,  und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.

 Angenommen, es gebe einen Unterraum $U^{\prime }$, auf dem die Bilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension $p$ größer als $p^{\prime }$ ist. Die Dimension von $W$ ist $n-p^{\prime }$ und daher ist  $W\cap U^{\prime }\ne 0$  nach Fakt.

Für einen Vektor $w\in W\cap U^{\prime }$, $w\ne 0$, ergibt sich aber direkt der Widerspruch  $⟨w,w⟩>0$  und

 $⟨w,w⟩\le 0$. 

Zur gelösten Aufgabe