Binäre Ikosaedergruppe/Kein Charakter/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir gehen von der Darstellung der binären Ikosaedergruppe in Beispiel aus. Es sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Wenn das Element auf abgebildet wird, so faktorisiert dieser Homomorphismus durch die reelle Ikosaedergruppe. Diese ist aber isomorph zur alternierenden Gruppe , welche einfach ist. Also wird diese Matrix nicht auf abgebildet und somit muss gerade sein. Dann gibt es auch einen surjektiven Homomorphismus für . Der Kern dieser Abbildung besitzt Elemente. Aufgrund der Liste in Fakt kommen dafür nur eine zyklische Gruppe oder eine Diedergruppe in Frage. In beiden Fällen hätte ein Element der Ordnung und damit hätte auch die reelle Ikosaedergruppe ein solches Element, was aber nicht der Fall ist.

Zur bewiesenen Aussage