Binäre Ikosaedergruppe/Kein Charakter/Fakt/Beweis

Beweis

Wir gehen von der Darstellung der binären Ikosaedergruppe in Beispiel aus. Es sei

$\psi \colon \operatorname {BI} \longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Wenn das Element ${}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ auf ${}0$ abgebildet wird, so faktorisiert dieser Homomorphismus durch die reelle Ikosaedergruppe. Diese ist aber isomorph zur alternierenden Gruppe ${}A_{5}$, welche einfach ist. Also wird diese Matrix nicht auf ${}0$ abgebildet und somit muss ${}\ell$ gerade ${}\geq 2$ sein. Dann gibt es auch einen surjektiven Homomorphismus für ${}\ell =2$. Der Kern dieser Abbildung besitzt ${}60$ Elemente. Aufgrund der Liste in Fakt kommen dafür nur eine zyklische Gruppe oder eine Diedergruppe in Frage. In beiden Fällen hätte ${}\operatorname {BI}$ ein Element der Ordnung ${}15$ und damit hätte auch die reelle Ikosaedergruppe ein solches Element, was aber nicht der Fall ist.

Zur bewiesenen Aussage