Binäre Oktaedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel

Die Matrizen

$A=A_{8}={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}},\,B={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\text{ und }}C={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}},$

wobei ${}\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel ist, erzeugen eine Untergruppe von ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$. Die Ordnungen dieser Elemente ergeben sich folgendermaßen. Es ist

${}A^{4}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=B^{2}\,,$

also besitzt ${}A$ die Ordnung ${}8$ und ${}B$ die Ordnung ${}4$. Mit

${}\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{8}}=e^{\frac {\pi {\mathrm {i} }}{4}}={\frac {1+{\mathrm {i} }}{\sqrt {2}}}\,$

ist

${}{\begin{aligned}C^{3}&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{6}+\zeta ^{4}&\zeta ^{6}+1\\\zeta ^{4}+\zeta ^{6}&\zeta ^{4}+\zeta ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{5}+\zeta ^{3}+\zeta ^{3}+\zeta ^{5}&\zeta ^{5}+\zeta ^{3}+\zeta ^{7}+\zeta \\\zeta ^{3}+\zeta ^{5}+\zeta +\zeta ^{7}&\zeta ^{3}+\zeta ^{5}+\zeta ^{5}+\zeta ^{3}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

so dass die Ordnung von ${}C$ gleich ${}6$ ist. Jedes Element dieser Gruppe kann man als ${}A^{i}B^{j}C^{k}$ schreiben, wobei die Exponenten jeweils maximal bis zur Ordnung der Matrizen laufen. Um das einzusehen muss man untersuchen, was passiert, wenn man ein solches Element mit ${}A$ oder ${}B$ rechterhand multipliziert. Es ist

${}{\begin{aligned}CA&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&\zeta ^{6}\\\zeta ^{6}&1\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\\-{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }&{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\zeta +\zeta ^{7}&\zeta ^{5}+\zeta ^{7}\\\zeta ^{7}+\zeta ^{5}&\zeta ^{7}+\zeta \end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1+\zeta ^{6}&\zeta ^{4}+\zeta ^{6}\\1+\zeta ^{6}&1+\zeta ^{2}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{6}+\zeta ^{4}&\zeta ^{6}+1\\\zeta ^{4}+\zeta ^{6}&\zeta ^{4}+\zeta ^{2}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}^{2}\\&=ABC^{2},\end{aligned}}$

man kann also ${}A$ von rechts an ${}C$ vorbeischieben. Wegen

${}{\begin{aligned}CB&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta &\zeta \\\zeta ^{3}&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}\\&=A^{2}C\end{aligned}}$

kann man ${}B$ von rechts an ${}C$ vorbeischieben. Wegen

${}{\begin{aligned}BA&={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&\zeta \\\zeta ^{3}&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&0\\0&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}^{7}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}\\&=A^{7}B\end{aligned}}$

kann man ${}B$ von rechts an ${}A$ vorbeischieben. Wegen

${}C^{3}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=A^{4}=B^{2}\,$

kann man sogar jedes Gruppenelement als

$A^{i}B^{j}C^{k}{\text{ mit }}0\leq i\leq 7,\,0\leq j\leq 1,\,0\leq k\leq 2,\,$

schreiben.

Wir zeigen, dass es unter diesen Elementen keine Wiederholungen gibt. Die Produkte ${}A^{i}B^{j}$ mit ${}0\leq i\leq 7,\,0\leq j\leq 1,$ bilden nach Beispiel die binäre Diedergruppe ${}BD_{4}$ der Ordnung ${}16$, dort gibt es also keine Wiederholungen. Also enthält die Gruppe eine Untergruppe der Ordnung ${}16$ aber auch eine Untergruppe der Ordnung ${}3$ (die von ${}C^{2}$ erzeugte Untergruppe), also muss ihre Ordnung ${}48$ sein (und in den obigen Produkten kann es keine Wiederholung geben). Es handelt sich also um eine Gruppe mit ${}48$ Elementen, die die binäre Oktaedergruppe heißt. Sie wird mit ${}BO$ bezeichnet. Es liegt die Untergruppenbeziehung

${}Z_{8}\subseteq BD_{4}\subseteq BO\,$

vor.