Binäre Oktaedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel

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Die Matrizen

wobei eine primitive achte Einheitswurzel ist, erzeugen eine Untergruppe von . Die Ordnungen dieser Elemente ergeben sich folgendermaßen. Es ist

also besitzt die Ordnung und die Ordnung . Mit

ist

so dass die Ordnung von gleich ist. Jedes Element dieser Gruppe kann man als schreiben, wobei die Exponenten jeweils maximal bis zur Ordnung der Matrizen laufen. Um das einzusehen muss man untersuchen, was passiert, wenn man ein solches Element mit oder rechterhand multipliziert. Es ist

man kann also von rechts an vorbeischieben. Wegen

kann man von rechts an vorbeischieben. Wegen

kann man von rechts an vorbeischieben. Wegen

kann man sogar jedes Gruppenelement als

schreiben.

Wir zeigen, dass es unter diesen Elementen keine Wiederholungen gibt. Die Produkte  mit bilden nach Beispiel die binäre Diedergruppe der Ordnung , dort gibt es also keine Wiederholungen. Also enthält die Gruppe eine Untergruppe der Ordnung aber auch eine Untergruppe der Ordnung (die von erzeugte Untergruppe), also muss ihre Ordnung sein (und in den obigen Produkten kann es keine Wiederholung geben). Es handelt sich also um eine Gruppe mit Elementen, die die binäre Oktaedergruppe heißt. Sie wird mit bezeichnet. Es liegt die Untergruppenbeziehung

vor.