Die Matrizen
-
wobei
eine primitive achte Einheitswurzel ist, erzeugen eine Untergruppe von
. Die
Ordnungen
dieser Elemente ergeben sich folgendermaßen. Es ist
-

also besitzt
die Ordnung
und
die Ordnung
. Mit
-

ist

sodass die Ordnung von
gleich
ist. Jedes Element dieser Gruppe kann man als
schreiben, wobei die Exponenten jeweils maximal bis zur Ordnung der Matrizen laufen. Um das einzusehen muss man untersuchen, was passiert, wenn man ein solches Element mit
oder
rechterhand multipliziert. Es ist

man kann also
von rechts an
vorbeischieben.
Wegen

kann man
von rechts an
vorbeischieben. Wegen

kann man
von rechts an
vorbeischieben. Wegen
-

kann man sogar jedes Gruppenelement als
-
schreiben.
Wir zeigen, dass es unter diesen Elementen keine Wiederholungen gibt. Die Produkte
mit
bilden nach
Beispiel
die
binäre Diedergruppe
der Ordnung
, dort gibt es also keine Wiederholungen. Also enthält die Gruppe eine Untergruppe der Ordnung
aber auch eine Untergruppe der Ordnung
(die von
erzeugte Untergruppe),
also muss ihre Ordnung
sein
(und in den obigen Produkten kann es keine Wiederholung geben).
Es handelt sich also um eine Gruppe mit
Elementen, die die binäre Oktaedergruppe heißt. Sie wird mit
bezeichnet. Es liegt die Untergruppenbeziehung
-

vor.