Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Lokale Ringe/Isomorphismus/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, seien ${}a,b\in \mathbb {N}$ teilerfremde Zahlen und sei ${}X^{a}-Y^{b}\in K[X,Y]$ das zugehörige binomiale Polynom.

1. Zeige, dass der durch ${}X\mapsto T^{b}$, ${}Y\mapsto T^{a}$, gegebene ${}K$-Algebrahomomorphismus

   $K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}\longrightarrow K[T]$

   injektiv ist.

2. Zeige, dass dieser Homomorphismus einen Isomorphismus

   ${\left(K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}\right)}_{X}\longrightarrow K[T]_{T}$

   induziert.

3. Man folgere, dass für jedes ${}c\in K$, ${}c\neq 0$, ein Isomorphismus von lokalen Ringen

   ${\left(K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}\right)}_{(X-c^{b},Y-c^{a})}\longrightarrow K[T]_{(T-c)}$

   vorliegt.

4. Zeige, dass der induzierte Homomorphismus

   ${\left(K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}\right)}_{(X,Y)}\longrightarrow K[T]_{(T)}$

   kein Isomorphismus ist.

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