Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Parametrisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, seien ${}a,b\in \mathbb {N}$ teilerfremde Zahlen und sei ${}X^{a}-Y^{b}\in K[X,Y]$ das zugehörige binomiale Polynom. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Das Polynom ${}X^{a}-Y^{b}$ ist irreduzibel.
2. Es gibt eine bijektive polynomiale Abbildung

   $K\longrightarrow V(X^{a}-Y^{b})\subseteq K^{2},\,t\longmapsto (t^{b},t^{a}).$

3. Bei ${}a,b\geq 2$ besitzt ${}V(X^{a}-Y^{b})$ eine isolierte Singularität im Nullpunkt.

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