Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Parametrisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, seien  $a,b\in \mathbb{N}$  teilerfremde Zahlen und sei  $X^a-Y^b\in K[X,Y]$  das zugehörige binomiale Polynom. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Das Polynom $X^a-Y^b$ ist irreduzibel.
2. Es gibt eine bijektive polynomiale Abbildung

   $K⟶V(X^a-Y^b)\subseteq K^2,t⟼(t^b,t^a).$

3. Bei  $a,b\ge 2$  besitzt $V(X^a-Y^b)$ eine isolierte Singularität im Nullpunkt.

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