Binomialkoeffizient/Lotto/Teilmengenanzahl/Wahrscheinlichkeit/Beispiel

In Beispiel haben wir die Anzahl der Möglichkeiten berechnet, $6$ Kugeln aus $49$ Kugeln zu ziehen, und zwar gibt es

(\binom{49}{6}) = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13983816

Möglichkeiten, da es so viele sechselementige Teilmengen gibt. Diese haben alle die gleiche Wahrscheinlichkeit, somit liegt ein Laplace-Raum vor, wobei die einzelnen Elementarereignisse, also eine bestimmte Ziehung, die Wahrscheinlichkeit

\frac{1}{13983816}

besitzen.

Wenn man sich für die Wahrscheinlichkeit interessiert, dass die $11$ gezogen wird, so muss man alle sechselementigen Teilmengen zählen, in denen die $11$ vorkommt. Da die $11$ festgelegt ist, geht es um die Anzahl der fünfelementigen Teilmengen der Menge ${1, 2, \dots, 49} ∖ {11}$ , diese Anzahl ist durch $(\binom{48}{5})$ gegeben. Die Wahrscheinlichkeit ist also

\frac{(\binom{48}{5})}{(\binom{49}{6})} = \frac{\frac{48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{\frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{6}{49},

was man sich auch so klar machen kann: Die Wahrscheinlichkeit, dass die zuerst gezogene Zahl eine $11$ ist, beträgt $\frac{1}{49}$ , die Wahrscheinlichkeit, dass die als zweite gezogene Zahl eine $11$ ist, beträgt ebenfalls $\frac{1}{49}$ , usw., und Aufsummieren der disjunkten Ereignisse liefert auch $\frac{6}{49}$ .

Wenn man sich für die Wahrscheinlichkeit interessiert, dass sowohl die $11$ als auch die $37$ gezogen werden, so muss man alle sechselementigen Teilmengen zählen, in denen die $11$ und die $37$ vorkommen. Dies ergibt die Wahrscheinlichkeit

\frac{(\binom{47}{4})}{(\binom{49}{6})} = \frac{\frac{47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{\frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{6 \cdot 5}{49 \cdot 48} = \frac{5}{49 \cdot 8} = \frac{5}{392} .