C^2/Volumentreu/Nicht injektiv/2/Aufgabe/Lösung

a) Die Jacobi-Matrix ist

${\begin{pmatrix}e^{y}&xe^{y}\\0&e^{-y}\end{pmatrix}}.$

Die Determinante davon ist

${}e^{y}e^{-y}=e^{y-y}=e^{0}=1\,.$

b) Die beiden Elemente ${}(0,0)$ und ${}(0,2\pi i)$ werden beide auf ${}(0,-1)$ abgebildet, deshalb ist die Abbildung nicht injektiv.

c) Das Bild ist ${}{\mathbb {C} }\times ({\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Da die Exponentialfunktion den Wert ${}0$ nicht annimmt, liegt das Bild in dieser Menge. Es sei ${}(u,v)\in {\mathbb {C} }^{2}$ mit ${}v\neq 0$ gegeben. Da die Exponentialfunktion im Komplexen auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ surjektiv abbildet (wegen ${}e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\cos b)$), gibt es ein ${}y$ mit

${}-e^{-y}=v\,.$

Mit

${}x=ue^{-y}\,$

erhält man ein Urbild von ${}(u,v)$.

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