C/Endliche Erweiterung/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

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  1. Die Reflexivität ist klar, da man bei einfach nehmen kann, da die Identität eine endliche Körpererweiterung ist. Die Symmetrie ist unmittelbar klar. Zum Nachweis der Transitivität seien Körper mit und endlich gegeben. Insbesondere sind und endliche Oberkörper von . Wir können

    mit schreiben, die über algebraisch sind. Damit ist

    eine endliche Körpererweiterung, die und und damit auch umfasst. Nach der Gradformel ist endlich über diesen Körpern und daher sind auch und äquivalent.

  2. und sind zueinander äquivalent, da eine endliche Körpererweiterung vom Grad ist.
  3. und sind nicht zueinander äquivalent, da es in über transzendente Elemente gibt, die nicht in einer endlichen Erweiterung von liegen können.