C/Endliche Erweiterung/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

1. Die Reflexivität ist klar, da man bei  ${}K_{1}=K_{2}$  einfach  ${}L=K_{1}$  nehmen kann, da die Identität eine endliche Körpererweiterung ist. Die Symmetrie ist unmittelbar klar. Zum Nachweis der Transitivität seien Körper  ${}K_{1},K_{2},K_{3},L_{1},L_{2}\subseteq {\mathbb {C} }$  mit  ${}K_{1},K_{2}\subseteq L_{1}$  und  ${}K_{2},K_{3}\subseteq L_{2}$  endlich gegeben. Insbesondere sind ${}L_{1}$ und ${}L_{2}$ endliche Oberkörper von ${}K_{2}$. Wir können

   ${}L_{1}=K_{2}[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,$

   mit ${}x_{i}\in L$ schreiben, die über ${}K_{2}$ algebraisch sind. Damit ist

   ${}L_{3}:=L_{2}[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,$

   eine endliche Körpererweiterung, die ${}L_{1}$ und ${}L_{2}$ und damit auch ${}K_{1},K_{2},K_{3}$ umfasst. Nach der Gradformel ist ${}L_{3}$ endlich über diesen Körpern und daher sind auch ${}K_{1}$ und ${}K_{3}$ äquivalent.

2. ${}\mathbb {R}$ und ${}{\mathbb {C} }$ sind zueinander äquivalent, da  ${}\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}2$ ist.
3. ${}\mathbb {Q}$ und ${}{\mathbb {C} }$ sind nicht zueinander äquivalent, da es in ${}{\mathbb {C} }$ über ${}\mathbb {Q}$ transzendente Elemente gibt, die nicht in einer endlichen Erweiterung von ${}\mathbb {Q}$ liegen können.

Zur gelösten Aufgabe