C/Multiplikation/Reell/Winkeltreu/Beispiel

Es sei

$\phi :ℂ⟶ℂ$

eine $ℂ$-lineare Abbildung, die durch die Multiplikation mit der komplexen Zahl

$w=a+b\mathrm{i}\ne 0$

gestiftet wird. Bezüglich der reellen Basis $1,\mathrm{i}$ von  $ℂ={ℝ}^2$  wird diese Abbildung durch die reelle $2\times 2$-Matrix

$\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$

beschrieben. Diese schreiben wir als

$\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{a^2+b^2}& 0\\ 0& \sqrt{a^2+b^2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}& -\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}& \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}\right).$

Somit liegt die Hintereinanderschaltung von einer Isometrie (einer Drehung) und einer Streckung mit dem Streckungsfaktor

$|w|=\sqrt{a^2+b^2}$

und insbesondere eine winkeltreue Abbildung vor.