C/Multiplikation/Reell/Winkeltreu/Beispiel

Es sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine ${}{\mathbb {C} }$-lineare Abbildung, die durch die Multiplikation mit der komplexen Zahl

${}w=a+b{\mathrm {i} }\neq 0\,$

gestiftet wird. Bezüglich der reellen Basis ${}1,{\mathrm {i} }$ von ${}{\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}$ wird diese Abbildung durch die reelle ${}2\times 2$-Matrix

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$

beschrieben. Diese schreiben wir als

${}{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}&0\\0&{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}&-{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}&{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\end{pmatrix}}\,.$

Somit liegt die Hintereinanderschaltung von einer Isometrie (einer Drehung) und einer Streckung mit dem Streckungsfaktor

${}\vert {w}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

und insbesondere eine winkeltreue Abbildung vor.