COVID-19/Mathematische Modellierung/DiMoT

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Krankheitsmodellierungzeitspanne (Disease Modelling Time span = DiMoT), über den die Krankheitsentwicklung mathematisch beschrieben wird.

Einführungsbeispiel[Bearbeiten]

Als einführendes Beispiel nehmen wir an, dass der Krankheitsmodellierungszeitraum 14 Tage sei. In diesem Krankheitsmodellierungszeitraum sollte eine Funktion erstellt werden, die die Infektiösität über diesen Zeitraum von 14 Tage darzustellen. Die Funktion sollte 100 sein, wenn 100% der infizierten Patienten an diesem Zeitpunkt selbst infektiös sind.

Die Anteile der Infizierten kann unterschiedliche Verläufe darstellen. Die Kurvenverläufe sind fiktiv und sollen lediglich das Prinzip der Krankheitsmodellierungszeitspannen veranschaulichen.

  • mit der roten Kurve wird ein Verlauf dargestellt, bei die ersten 7 Tage kein Infektiösität vorliegt und danach 100% der Infizierten infektiös.
  • in der blauen Kurve sind nach 3 Tagen 100% infektiös, danach werden immer weniger infizierte Personen infektiös.
  • in der grünen Kurve steigt der Anteil der infizierten Personen bis zum 11. Tag auf 100% an und dann bleiben 3 Tage 100% infektiös und dann nimmt der Anteil der infektiösen Patienten wieder ab.

Definition: DiMoT[Bearbeiten]

Eine Krankheitsmodellierungzeitspanne (Disease Modelling Time span - DiMoT) kann wie folgt definiert werden:

  • stetiger Fall: DiMoT als ein Intervall
  • diskreter Fall: DiMoT als eine endliche Teilmenge der reellen Zahlen with .

Beispiel[Bearbeiten]

Für eine Krankheitsmodellierungzeitspanne (Disease Modelling Time span - DiMoT) werden im Folgenden für den diskreten und stetigen Fall jeweils ein Beispiel genannt, das sich auf die obige Abbildung bezieht. folgt definiert werden:

  • stetiger Fall: DiMoT als ein Intervall
  • diskreter Fall: DiMoT als eine endliche Teilmenge der reellen Zahlen with .

Dichtefunktionen und Wahrscheinlichkeitsdichten[Bearbeiten]

Wahrscheinlichkeitsdichten oder allgemeiner Dichtefunktionen können ebenfalls auf dem Krankheitsmodellierungszeitraum definiert werden.

  • eine Wahrscheinlichkeitsdichte über den Krankheitsmodellierungszeitraum kann z.B. angeben, wie die Verteilung der Infektionen über die Zeitpunkte der DiMoT verteilt sind.
  • eine allgemeine Dichte erlaubt die Masseverteilung über die DiMoT. Im stetigen Fall kann so z.B. durch ein Integral über ein Teilintervall des Krankheitsmodellierungszeitraum die Anzahl der infizierten Personen in diesem Zeitinterval berechnet werden.
  • wenn der Infektionszeitpunkt zwischen dem 11., 12. oder 13. Tag vor dem Meldezeitpunkt grob bestimmt werden kann, dann ordnen wir für alle drei spezifischen Tage -11,-12 und -13 zu. Damit wird insgesamt die Masse 1 verteilt und entsprechend der Unsicherheit auf die Tage 11., 12. oder 13. Tag vor dem Meldezeitpunkt verteilt.
  • die folgenden Kurven zeigen verschiedene Beispiele für Werte - diese Werte sind keine echten Werte. Sie sollen die Grundprinzipien für Funktionen auf der DiMoT-Menge als Domäne veranschaulichen.
  • soll nun aus den absoluten Werte ein Wahrscheinlichkeitsverteilung entstehen, so muss die Verteilung im diskreten bzw. stetigen Fall normiert werden.
  • sind alle Werte für die absolute Häufigkeit gegegen, erhält man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung im diskreten Fall durch die Berechnung der relativen Häufigkeiten
  • Für eine nicht-negative integrable Funktion über das DiMoT-Intervall wird aus der Dichtefunktion eine Wahrscheinlichkeitsdichte mit:

Wahrscheinlichkeitsfunktionen[Bearbeiten]

Wahrscheinlichkeitsfunktionen über die DiMoT ordnen jedem Zeitpunkt eine Wahrscheinlichkeit . D.h. über Wahrscheinlichkeitsfunktionen wird die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses zum Zeitpunkt angegeben. Ein Wahrscheinlichkeitsfunktion ist aber in der Regel keine Wahrscheinlichkeitsdichte, denn eine Wahrscheinlichkeitsfunktion verletzt in der Regel die Normiertheit von Wahrscheinlichkeitsmaßen, d.h.

  • im diskreten Fall: bzw.
  • im kontinuierlichen Fall:

Faltung von Funktionen[Bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten]