Charaktergruppe/Untergruppe/Duale Abbildung/Kern und Surjektivitätskriterium/Aufgabe

Es sei ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und ${}E\subseteq D$ eine Untergruppe. Es sei ${}K$ ein Körper.

a) Zeige, dass der Kern des natürlichen Gruppenhomomorphismus

$\psi \colon D^{\vee }\longrightarrow E^{\vee },\,\chi \longmapsto \chi {|}_{E},$

gleich ${}E^{\perp }$ ist.

b) Es sei vorausgesetzt, dass ${}K$ eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel besitzt, wobei ${}m$ der Exponent von ${}D$ sei. Zeige, dass ${}\psi$ surjektiv ist.

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