Charakteristisches Polynom/Bekannt/Summe/Aufgabe/Lösung

Das kann man nicht. Wir betrachten die beiden nilpotenten ${}2\times 2$-Matrizen

$\varphi ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}.$

Ihr charakteristisches Polynom ist jeweils ${}X^{2}$. Ihre Summe ist

${}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,$

und das charakteristische Polynom davon ist ${}X^{2}-1$. Wenn man dagegen ${}\varphi$ zweimal nimmt, also ${}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix}}$,

so ist dies ebenfalls nilpotent, und das charakteristische Polynom ist ${}X^{2}$.

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