Charakteristisches Polynom/Direkte Summenzerlegung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{k}$ eine Basis von ${}U$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{m}$ eine Basis von ${}W$, die zusammen eine Basis von ${}V$ ergeben. Bezüglich dieser Basis wird ${}\varphi$ insgesamt durch die Blockmatrix ${}M={\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}}$ beschrieben, wobei ${}A$ die Einschränkung ${}\varphi {|}_{U}$ und ${}B$ die Einschränkung ${}\varphi {|}_{W}$ beschreibt. Dann ist unter Verwendung von Aufgabe

${}\chi _{\varphi }=\chi _{M}=\det {\left(t\operatorname {Id} -M\right)}=\det {\left(t\operatorname {Id} -A\right)}\det {\left(t\operatorname {Id} -B\right)}=\chi _{\varphi {|}_{U}}\cdot \chi _{\varphi {|}_{W}}\,.$

Zur bewiesenen Aussage