Chevalley-Shephard-Todd/Polynomring/Spiegelungsgruppe/Mit Jacobi-Determinante/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}=K[\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}]\,$

mit ${}\theta _{i}$ algebraisch unabhängig, und es sei ${}\operatorname {grad} \,(\theta _{i})=d_{i}$. Es sei ${}H\subseteq G$ die durch alle Pseudoreflektionen erzeugte Untergruppe. Aufgrund der Hinrichtung wissen wir bereits

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{H}=K[\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}]\supseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\,$

mit  ${}\operatorname {grad} \,(\psi _{j})=e_{j}$  und ${}\psi _{j}$ algebraisch unabhängig. Jedes ${}\theta _{i}$ ist ein Polynom in den ${}\psi _{j}$. Da beide Polynomfamilien algebraisch unabhängig sind, folgt nach Fakt, dass

${}\det \left({\frac {\partial \theta _{i}}{\partial \psi _{j}}}\right)\neq 0\,$

ist. Es gibt dann insbesondere eine Permutation ${}\pi$ mit

${\frac {\partial \theta _{\pi (1)}}{\partial \psi _{1}}}\cdots {\frac {\partial \theta _{\pi (n)}}{\partial \psi _{n}}}\neq 0.$

Dies bedeutet insbesondere, dass ${}\psi _{i}$ in ${}\theta _{\pi (i)}(\psi _{1},\ldots ,\psi _{n})$ vorkommt, daher ist

${}e_{i}=\operatorname {grad} \,(\psi _{i})\leq d_{\pi (i)}=\operatorname {grad} \,(\theta _{\pi (i)})\,.$

Sei ${}r$ die Anzahl der Pseudoreflektionen in ${}G$ und in ${}H$. Nach Fakt ist

${}r=\sum _{i=1}^{n}(d_{i}-1)=\sum _{i=1}^{n}(d_{\pi (i)}-1)=\sum _{i=1}^{n}(e_{i}-1)\,.$

Daher muss ${}e_{i}=d_{\pi (i)}$ gelten. Damit ist aber

${}\vert {G}\vert =d_{1}\cdots d_{n}=e_{1}\cdots e_{n}=\vert {H}\vert \,$

und damit

$H=G.$

Zur bewiesenen Aussage

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