Chevalley-Shephard-Todd/Polynomring/Spiegelungsgruppe/Mit Jacobi-Determinante/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$K[X_1,\dots ,X_n{]}^G=K[{\theta }_1,\dots ,{\theta }_n]$

mit ${\theta }_i$ algebraisch unabhängig, und es sei $\mathrm{grad}({\theta }_i)=d_i$. Es sei $H\subseteq G$ die durch alle Pseudoreflektionen erzeugte Untergruppe. Aufgrund der Hinrichtung wissen wir bereits

$K[X_1,\dots ,X_n{]}^H=K[{\psi }_1,\dots ,{\psi }_n]\supseteq K[X_1,\dots ,X_n{]}^G$

mit  $\mathrm{grad}({\psi }_j)=e_j$  und ${\psi }_j$ algebraisch unabhängig. Jedes ${\theta }_i$ ist ein Polynom in den ${\psi }_j$. Da beide Polynomfamilien algebraisch unabhängig sind, folgt nach Fakt, dass

$det\left(\frac{\partial {\theta }_i}{\partial {\psi }_j}\right)\ne 0$

ist. Es gibt dann insbesondere eine Permutation $\pi$ mit

$\frac{\partial {\theta }_{\pi (1)}}{\partial {\psi }_1}\cdots \frac{\partial {\theta }_{\pi (n)}}{\partial {\psi }_n}\ne 0.$

Dies bedeutet insbesondere, dass ${\psi }_i$ in ${\theta }_{\pi (i)}({\psi }_1,\dots ,{\psi }_n)$ vorkommt, daher ist

$e_i=\mathrm{grad}({\psi }_i)\le d_{\pi (i)}=\mathrm{grad}({\theta }_{\pi (i)}).$

Sei $r$ die Anzahl der Pseudoreflektionen in $G$ und in $H$. Nach Fakt ist

$r=\sum _{i=1}^n(d_i-1)=\sum _{i=1}^n(d_{\pi (i)}-1)=\sum _{i=1}^n(e_i-1).$

Daher muss $e_i=d_{\pi (i)}$ gelten. Damit ist aber

$|G|=d_1\cdots d_n=e_1\cdots e_n=|H|$

und damit

$H=G.$

Zur bewiesenen Aussage

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