Chevalley-Warning/Homogener Fall/Anzahl/p-1/Bemerkung

In der homogenen Situation von Fakt über ${}\mathbb {Z} /(p)$ erfüllt die Anzahl ${}N={\#\left(V\right)}$ des Nullstellengebildes nicht nur die Bedingung, dass ${}N$ ein Vielfaches von ${}p$ sein muss, sondern wegen der homogenen Struktur auch die Bedingung, dass ${}N-1$ ein Vielfaches von ${}p-1$ sein muss. Dies beruht einfach darauf, dass zu jedem ${}\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\in K^{n}\setminus \{\left(0,\,\ldots ,\,0\right)\}$ auch jedes skalare Vielfache ${}s\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ mit ${}s\neq 0$ zu ${}V$ gehört, siehe Fakt. Somit gilt die Bedingung, dass es ${}a,b\in \mathbb {N}$ mit ${}N=ap=b(p-1)+1$ gibt. Eine typische Möglichkeit ist ${}p^{2}=(p+1)(p-1)+1$, es gibt aber auch viele andere Möglichkeiten, siehe Beispiel und Beispiel.