Dachprodukt/Algebrastruktur/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Da die Dachprodukte bzw. jeweils Erzeugendensysteme sind, kann es maximal eine multilineare Abbildung geben, die für die Dachprodukte einfach die Verkettung ist. Für beliebige Linearkombinationen und muss dann (wegen der geforderten Multilinearität)

gelten. Wir müssen zeigen, dass dadurch eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist, d.h. dass die Summe rechts nicht von den für bzw. gewählten Darstellungen abhängt. Sei also eine zweite Darstellung, wobei wir die Indexmenge als gleich annehmen dürfen, da wir fehlende Summanden mit dem Koeffizienten versehen können. Die Differenz ist dann eine (im Allgemeinen nicht triviale) Darstellung der . D.h. ist eine Linearkombination aus den in Fakt beschriebenen Standardrelationen für das Dachprodukt. Wenn man eine solche Standardrelation der Länge in jedem Summanden um das Indextupel erweitert, so erhält man eine Standardrelation der Länge . Dies bedeutet, dass aus einer Darstellung der bei der Verknüpfung mit einem beliebigen eine Darstellung der entsteht. Daher ist das Dachprodukt unabhängig von der gewählten Darstellung für . Da man die Rollen von und vertauschen kann, ist die Darstellung auch unabhängig von der gewählten Darstellung für . Die Multilinearität folgt unmittelbar aus der expliziten Beschreibung.