Dachprodukt/Basiswechsel/Umrechnung/Bemerkung

Zu Basen $v_{1}, \dots, v_{m}$ und $w_{1}, \dots, w_{m}$ eines $K$ -Vektorraumes $V$ mit den Beziehungen

v_{j} = \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} w_{i}

erhält man zwischen den Basen

v_{i_{1}} \land \dots \land v_{i_{n}} mit 1 \leq i_{1} < \dots < i_{n} \leq m und w_{i_{1}} \land \dots \land w_{i_{n}} mit 1 \leq i_{1} < \dots < i_{n} \leq m

des $\overset{n}{⋀} V$ die Beziehung

v_{j_{1}} \land \dots \land v_{j_{n}} = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{n} \leq m} (\sum_{π \in S_{n}} sgn (π) \prod_{s = 1}^{n} a_{i_{s} j_{π (s)}}) w_{i_{1}} \land \dots \land w_{i_{n}} .

Dies beruht gemäß Fakt (4) auf

\begin{matrix} v_{j_{1}} \land \dots \land v_{j_{n}} & = (\sum_{i = 1}^{m} a_{i j_{1}} w_{i}) \land \dots \land (\sum_{i = 1}^{m} a_{i j_{n}} w_{i}) \\ = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{n} \leq m} (\sum_{π \in S_{n}} sgn (π) \prod_{s = 1}^{n} a_{i_{s} j_{π (s)}}) w_{i_{1}} \land \dots \land w_{i_{n}} . \end{matrix}