Dachprodukt/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Dann gelten für die äußeren Potenzen folgende Aussagen.

1. Die Elemente der Form ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ mit ${}v_{i}\in V$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}\bigwedge ^{n}V$.
2. Die Abbildung

   $V^{n}\longrightarrow \bigwedge ^{n}V,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n},$

   ist multilinear und alternierend.

3. Es ist

   $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge v\wedge w\wedge v_{i+2}\wedge \ldots \wedge v_{n}=-v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge w\wedge v\wedge v_{i+2}\wedge \ldots \wedge v_{n}\,.$

4. Es seien ${}u_{1},\ldots ,u_{m}\in V$ gegeben und seien

   ${}v_{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}u_{i}\,$

   für ${}j=1,\ldots ,n$. Dann ist

   ${}{\begin{aligned}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}&=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{n})\in \{1,\ldots ,m\}^{n}}{\left(\prod _{j=1}^{n}a_{i_{j}j}\right)}u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}\\&=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m}{\left(\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}\right)}u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}.\end{aligned}}$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen