Dachprodukt/Eigenwerte/Aufgabe/Lösung

Nach Voraussetzung ist

${}\varphi (v_{i})=a_{i}v_{i}\,$

und die ${}v_{i}$ sind untereinander linear unabhängig. Daher ist ${}v_{1}\wedge v_{2}\wedge \ldots \wedge v_{m}$ in ${}\bigwedge ^{m}V$ nach Fakt ein Element einer Basis und insbesondere nicht ${}0$. Es ist unter Verwendung von Fakt

${}{\begin{aligned}\bigwedge ^{m}(\varphi )(v_{1}\wedge v_{2}\wedge \ldots \wedge v_{m})&=\varphi (v_{1})\wedge \varphi (v_{2})\wedge \ldots \wedge \varphi (v_{m})\\&=(a_{1}v_{1})\wedge (a_{2}v_{2})\wedge \ldots \wedge (a_{m}v_{m})\\&=(a_{1}\cdots a_{m})\cdot v_{1}\wedge v_{2}\wedge \ldots \wedge v_{m}.\end{aligned}}$

Also ist ${}v_{1}\wedge v_{2}\wedge \ldots \wedge v_{m}$ ein Eigenvektor von ${}\bigwedge ^{m}$ zum Eigenwert ${}a_{1}\cdots a_{m}$.

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