Dachprodukt/Transformation des Dachprodukts von Teilfamilien/Determinante/Aufgabe

Zeige folgende Aussage über das Dachprodukt: Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum der Dimension $n$ . Es seien $v_{1}, \dots, v_{r}$ und $w_{1}, \dots, w_{r}$ Vektoren in $V$ , die miteinander in der Beziehung

(\begin{matrix} w_{1} \\ ⋮ \\ w_{r} \end{matrix}) = M (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{r} \end{matrix})

stehen, wobei $M$ eine $r \times r$ -Matrix bezeichnet. Dann gilt in $\overset{r}{⋀} V$ die Beziehung

w_{1} \land \dots \land w_{r} = (det M) v_{1} \land \dots \land v_{r} .

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