Darstellung von pi/Wallis-Produkt/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen

${}a_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}t\,dt\,.$

Dies ist eine fallende Folge, für die aufgrund von Beispiel die rekursive Beziehung

${}a_{n}={\frac {n-1}{n}}a_{n-2}\,$

und die Anfangsbedingungen ${}a_{0}={\frac {\pi }{2}}$ und ${}a_{1}=1$ gelten. Ausgeschrieben bedeutet dies für gerades ${}n$

${}a_{n}={\frac {(n-1)(n-3)\cdots 3\cdot 1}{n(n-2)\cdots 4\cdot 2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\,$

und für ungerades ${}n$

${}a_{n}={\frac {(n-1)(n-3)\cdots 4\cdot 2}{n(n-2)\cdots 5\cdot 3}}\,.$

Mit ${}n=2m$ bzw. ${}n=2m+1$ schreibt sich dies als

${}a_{2m}={\frac {(2m-1)(2m-3)\cdots 3\cdot 1}{2m(2m-2)\cdots 4\cdot 2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\,$

bzw. als

${}a_{2m+1}={\frac {2m(2m-2)\cdots 4\cdot 2}{(2m+1)(2m-1)\cdots 5\cdot 3}}\,.$

Da die Folge fallend ist und ${}{\frac {a_{n}}{a_{n+2}}}={\frac {n+2}{n+1}}$ gilt, konvergieren die Quotienten ${}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}$ gegen ${}1$. Also ist insbesondere

${}{\begin{aligned}1&=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {a_{2m}}{a_{2m+1}}}\\&=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {\,\,\,{\frac {(2m-1)(2m-3)\cdots 3\cdot 1}{2m(2m-2)\cdots 4\cdot 2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\,\,\,}{\,\,\,{\frac {2m(2m-2)\cdots 4\cdot 2}{(2m+1)(2m-1)\cdots 5\cdot 3}}\,\,\,}}\\&=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {(2m+1)(2m-1)^{2}(2m-3)^{2}\cdots 5^{2}\cdot 3^{2}\cdot 1}{(2m(2m-2)\cdots 4\cdot 2)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}$

Hier kann man den Zähler, indem man zwei aufeinander folgende Faktoren ausmultipliziert, als ${}\prod _{k=1}^{m}(4k^{2}-1)$ und den Nenner als ${}\prod _{k=1}^{m}4k^{2}$ schreiben. Daher ist

${}\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {\prod _{k=1}^{m}4k^{2}}{\prod _{k=1}^{m}(4k^{2}-1)}}={\frac {\pi }{2}}\,.$

Zur bewiesenen Aussage