Dedekind/Ideale und Divisoren/Gebrochenes Ideal/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei . Gemäß der Konvention, dass zu interpretieren ist, ist . Für Elemente mit gilt nach Fakt

und

für , da ja effektiv ist. Also liegt in der Tat ein -Modul vor.

Bevor wir die endliche Erzeugtheit nachweisen, betrachten wir die zweite Aussage. Es sei also ein effektiver Divisor. Wir haben zu zeigen, dass

ist, wobei die Inklusion klar ist. Die andere Inklusion folgt aus Fakt  (3).

Zum Nachweis der endlichen Erzeugtheit bemerken wir, dass es nach Fakt  (4) zu jedem Divisor ein derart gibt, dass effektiv ist. Das zu gehörige gebrochene Ideal ist dann ein Ideal, also endlich erzeugt, und dies überträgt sich auf das gebrochene Ideal zu .