Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Nenneraufnahme/Fakt

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und es sei  ${}S\subseteq R$,   ${}0\notin S$,  ein multiplikatives System mit der Nenneraufnahme ${}R_{S}$.

Dann liegt ein exakter Komplex

$1\longrightarrow R^{\times }\longrightarrow R_{S}^{\times }\longrightarrow \mathbb {Z} ^{(\left\{{\mathfrak {p}}\mid {\mathfrak {p}}\cap S\neq \emptyset \right\})}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(R_{S}\right)}\longrightarrow 0$

vor.

Dabei ordnet die dritte Abbildung einer Einheit  ${}f\in R_{S}^{\times }$  die Einschränkung des Hauptdivisors auf die angegebene Primidealmenge zu. Die vierte Abbildung ordnet einem Divisor ${}\sum _{{\mathfrak {p}}\cap S\neq \emptyset }n_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}$ die zugehörige Klasse in ${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}$ zu.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen