Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Separabel/Kähler-Modul/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen derart, dass die Körpererweiterung ${}Q(R)\subseteq Q(S)$ der Quotientenkörper separabel sei. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist ${}{\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{S\setminus \{0\}}=0$.
2. Es gibt ein ${}s\in S$, ${}s\neq 0$, mit ${}{\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{s}=0$.
3. Es gibt ein ${}r\in R$, ${}r\neq 0$, mit ${}{\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{r}=0$.
4. Es gibt endlich viele Primideale ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ mit ${}{\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{\mathfrak {q}}\neq 0$.
5. Es gibt ein ${}r\in R$, ${}r\neq 0$, und ein ${}m\in \mathbb {N}$ mit ${}r^{m}{\left(\Omega _{S{|}R}\right)}=0$. Insbesondere ist ${}\Omega _{S{|}R}$ ein ${}S/r^{m}S$-Modul.

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