Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Separabel/Kähler-Modul/Eigenschaften/Fakt

Es sei  ${}R\subseteq S$  eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen derart, dass die Körpererweiterung  ${}Q(R)\subseteq Q(S)$  der Quotientenkörper separabel sei. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist  ${}{\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{S\setminus \{0\}}=0$. 
2. Es gibt ein  ${}s\in S$,   ${}s\neq 0$,  mit  ${}{\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{s}=0$. 
3. Es gibt ein  ${}r\in R$,   ${}r\neq 0$,  mit  ${}{\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{r}=0$. 
4. Es gibt endlich viele Primideale  ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$  mit  ${}{\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{\mathfrak {q}}\neq 0$. 
5. Es gibt ein  ${}r\in R$,   ${}r\neq 0$,  und ein  ${}m\in \mathbb {N}$  mit  ${}r^{m}{\left(\Omega _{S{|}R}\right)}=0$.  Insbesondere ist ${}\Omega _{S{|}R}$ ein ${}S/r^{m}S$-Modul.

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