Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Separabel/Kähler-Modul/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Nach Fakt ist

   ${\left({\mathrm{\Omega }}_{S/R}\right)}_{S\setminus \{0\}}={\mathrm{\Omega }}_{Q(S)/R}={\mathrm{\Omega }}_{Q(S)/Q(R)}.$

   Somit folgt die Aussage aus dem Satz vom primitiven Element in Verbindung mit Fakt.

2. Folgt aus (1) aufgrund der endlichen Erzeugtheit von ${\mathrm{\Omega }}_{S/R}$.
3. Folgt aus (2), man kann für $r$ die Norm von $s$ nehmen, die ja nach Fakt (im zahlentheoretischen Kontext) ein Vielfaches von $s$ ist.
4. Folgt aus (2) und daraus, dass es in einem Dedekindbereich nur endlich viele Primideale oberhalb eines Elementes $\ne 0$ gibt.
5. Folgt aus (3) und der endlichen Erzeugtheit.

Zur bewiesenen Aussage