Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Basis/Bilder/Untergruppe/Aufgabe/Lösung

Sei ${}\tau \in H$. Dann ist

${}f_{j}\tau ={\left(\sum _{\sigma \in H_{j}}f\sigma \right)}\tau =\sum _{\sigma \in H_{j}}f\sigma \tau =\sum _{\rho \in H_{j}}f\rho \,,$

deshalb sind die ${}f_{j}$ ${}H$-invariant. Die lineare Unabhängigkeit der ${}f\sigma$ überträgt sich auf die ${}f_{j}$, da die Nebenklassen disjunkt sind. Der Index von ${}H$ in ${}G$, also ${}k$, stimmt mit dem ${}R$-Rang von ${}S^{H}$ nach der Galoiskorrespondenz überein. Es sei ${}g=\sum _{\sigma \in G}a_{\sigma }f\sigma \in S$ ein ${}H$-invariantes Element. Es ist zu zeigen, dass dies eine ${}R$-Linearkombination der ${}f_{j}$ ist. Indem wir eine passende Kombination der ${}f_{j}$ abziehen, können wir davon ausgehen, dass in jeder Teilsumme über der Nebenklasse ${}H_{j}$ ein Koeffizient ${}a_{\sigma }$ mit ${}\sigma \in H_{j}$ gleich ${}0$ ist. Dann muss auch

${}a_{\sigma \tau }=0\,$

für alle ${}\tau \in H$ sein und dann ist überhaupt

${}g=0$.

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