Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Basis/Bilder/Untergruppe/Aufgabe

Es sei ${}R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit einer Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$ und es sei ${}f\in S$ ein Element derart, dass ${}f\sigma$, ${}\sigma \in G$, eine ${}R$-Basis von ${}S$ ist. Es sei ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe mit den Nebenklassen

$H_{1}=H,H_{2},\ldots ,H_{k}.$

Zeige, dass die Familie

${}f_{j}=\sum _{\sigma \in H_{j}}f\sigma \,$

zu ${}j=1,\ldots ,k$

eine ${}R$-Basis des Invariantenringes ${}S^{H}$ ist.

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