Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Turm/Zerlegungsgruppe auf Zerlegungsgruppe/Aufgabe/Lösung

Wir gehen von dem surjektiven Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow H$

mit dem Kern ${}N$ aus. Dieser sendet einen Körperautomorphismus  ${}\tau \in G$  auf die Einschränkung  ${}\sigma =\tau {|}_{L}$,  siehe Fakt. Entsprechendes gilt gemäß Fakt für die Ringautomorphismen. Sei  ${}\tau \in G_{\mathfrak {r}}$  und  ${}s\in {\mathfrak {q}}={\mathfrak {r}}\cap S$.  Dann ist  ${}\sigma (s)=\tau (s)\in {\mathfrak {q}}$,  da ${}\tau$ zur Zerlegungsgruppe von ${}{\mathfrak {r}}$ gehört, und  ${}\sigma (s)\in S$,  da die Einschränkung eben einen wohldefinierten Automorphisms auf ${}S$ ergibt. Also ist  ${}\sigma \in H_{\mathfrak {q}}$. 

Zum Nachweis der Surjektivität sei nun ein  ${}\sigma \in H_{\mathfrak {q}}$  gegeben, und es sei  ${}\tau \in G$  mit

${}\tau {|}_{S}=\sigma \,.$

Es sei

${}\tau ^{-1}({\mathfrak {r}})={\mathfrak {r}}'\,.$

Dabei gilt

${}{\mathfrak {r}}'\cap S=\tau ^{-1}({\mathfrak {r}})\cap S=\sigma ^{-1}({\mathfrak {r}}\cap S)=\sigma ^{-1}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}\,,$

d.h. ${}{\mathfrak {r}}'$ gehört zur Faser über ${}{\mathfrak {q}}$. Wegen  ${}S=T^{H}$  und Fakt gibt es ein  ${}\alpha \in N$  mit

${}\alpha ^{-1}({\mathfrak {r}}')={\mathfrak {r}}\,.$

Damit ist

${}(\tau \circ \alpha )^{-1}({\mathfrak {r}})={\mathfrak {r}}\,.$

Somit gehört ${}\tau \circ \alpha$ zur Zerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {r}}$ und dieses Element wird unter der Restriktion auf ${}\sigma$ abgebildet, da ja die Restriktion von ${}\alpha$ die Identität auf ${}S$ ist.

Der Zusatz über den Kern ist klar.

Zur gelösten Aufgabe