Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Turm/Zerlegungsgruppe auf Zerlegungsgruppe/Aufgabe/Lösung

Wir gehen von dem surjektiven Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow H$

mit dem Kern ${}N$ aus. Dieser sendet einen Körperautomorphismus ${}\tau \in G$ auf die Einschränkung ${}\sigma =\tau {|}_{L}$, siehe Fakt. Entsprechendes gilt gemäß Fakt für die Ringautomorphismen. Sei ${}\tau \in G_{\mathfrak {r}}$ und ${}s\in {\mathfrak {q}}={\mathfrak {r}}\cap S$. Dann ist ${}\sigma (s)=\tau (s)\in {\mathfrak {q}}$, da ${}\tau$ zur Zerlegungsgruppe von ${}{\mathfrak {r}}$ gehört, und ${}\sigma (s)\in S$, da die Einschränkung eben einen wohldefinierten Automorphisms auf ${}S$ ergibt. Also ist ${}\sigma \in H_{\mathfrak {q}}$.

Zum Nachweis der Surjektivität sei nun ein ${}\sigma \in H_{\mathfrak {q}}$ gegeben, und es sei ${}\tau \in G$ mit

${}\tau {|}_{S}=\sigma \,.$

Es sei

${}\tau ^{-1}({\mathfrak {r}})={\mathfrak {r}}'\,.$

Dabei gilt

${}{\mathfrak {r}}'\cap S=\tau ^{-1}({\mathfrak {r}})\cap S=\sigma ^{-1}({\mathfrak {r}}\cap S)=\sigma ^{-1}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}\,,$

d.h. ${}{\mathfrak {r}}'$ gehört zur Faser über ${}{\mathfrak {q}}$. Wegen ${}S=T^{H}$ und Fakt gibt es ein ${}\alpha \in N$ mit

${}\alpha ^{-1}({\mathfrak {r}}')={\mathfrak {r}}\,.$

Damit ist

${}(\tau \circ \alpha )^{-1}({\mathfrak {r}})={\mathfrak {r}}\,.$

Somit gehört ${}\tau \circ \alpha$ zur Zerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {r}}$ und dieses Element wird unter der Restriktion auf ${}\sigma$ abgebildet, da ja die Restriktion von ${}\alpha$ die Identität auf ${}S$ ist.

Der Zusatz über den Kern ist klar.

Zur gelösten Aufgabe