Endliche Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Galois über Grundkörper/Normale Untergruppe/Fakt

Satz über Normalteiler in der Galoisgruppe

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Galoiserweiterung und ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Körpererweiterung  ${}K\subseteq M$  ist genau dann eine Galoiserweiterung, wenn die Untergruppe  ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}M)\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$  ein Normalteiler ist.
2. Sei  ${}K\subseteq M$  eine Galoiserweiterung. Dann besteht zwischen den Galoisgruppen die natürliche Restklassenbeziehung

   ${}\operatorname {Gal} \,(M{|}K)=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)/\operatorname {Gal} \,(L{|}M)\,.$

   Bei dieser Zuordnung wird ein Automorphismus ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ auf ${}M$ eingeschränkt.

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