Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1) und (2) sind klar und folgen auch aus (4).

(3). Nach Fakt gibt es ein ${}\tau \in G$ mit ${}\tau ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'$. Mittels ${}\tau$ kann man direkt den Isomorphismus

$G_{\mathfrak {q}}\longrightarrow G_{{\mathfrak {q}}'},\,\sigma \longmapsto \tau \circ \sigma \circ \tau ^{-1},$

angeben. Es ist ja

${}{\left(\tau \circ \sigma \circ \tau ^{-1}\right)}({\mathfrak {q}}')=\tau (\sigma (\tau ^{-1}({\mathfrak {q}}')))=\tau (\sigma ({\mathfrak {q}}))=\tau ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'\,.$

(4). Wir zerlegen ${}G$ abhängig davon, auf welches Primideal ${}{\mathfrak {q}}$ abgebildet wird, also

${}G=\biguplus _{{\mathfrak {q}}'}{\left\{\rho \in G\mid \rho ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'\right\}}\,.$

Dabei ist die Untergruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ ein Teil davon und die anderen Teile sind die Nebenklassen zu dieser Untergruppe, da ja

${}{\left\{\rho \in G\mid \rho ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'\right\}}=\tau G_{\mathfrak {q}}\,,$

wenn ${}\tau$ ein fixierter Automorphismus ist, der ${}{\mathfrak {q}}$ in ${}{\mathfrak {q}}'$ überführt. Insbesondere sind diese Nebenklassen alle gleich groß. Wenn es ${}k$ Primideale in der Faser gibt, und die Körpererweiterung den Grad ${}n$ hat und die Galoisgruppe somit ${}n$ Elemente besitzt, so enthält die Zerlegungsgruppe ${}{\frac {n}{k}}$ Elemente, was nach Fakt mit ${}ef$ übereinstimmt.

Zur bewiesenen Aussage