Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

(1) und (2) sind klar und folgen auch aus (4).

(3). Nach Fakt gibt es ein mit . Mittels kann man direkt den Isomorphismus

angeben. Es ist ja

(4). Wir zerlegen abhängig davon, auf welches Primideal abgebildet wird, also

Dabei ist die Untergruppe ein Teil davon und die anderen Teile sind die Nebenklassen zu dieser Untergruppe, da ja

wenn ein fixierter Automorphismus ist, der in überführt. Insbesondere sind diese Nebenklassen alle gleich groß. Wenn es Primideale in der Faser gibt, und die Körpererweiterung den Grad hat und die Galoisgruppe somit Elemente besitzt, so enthält die Zerlegungsgruppe Elemente, was nach Fakt mit übereinstimmt.