Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Einfache Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal von ${}S$ über ${}{\mathfrak {p}}$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Zerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ ist genau dann trivial, wenn ${}{\mathfrak {p}}$ voll zerlegt ist.
2. Die Zerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ ist genau gleich ${}G$, wenn ${}{\mathfrak {p}}$ unzerlegt ist.
3. Zu einem weiteren Primideal ${}{\mathfrak {q}}'$ oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ sind die Zerlegungsgruppen ${}G_{\mathfrak {q}}$ und ${}G_{{\mathfrak {q}}'}$ isomorph.
4. Es ist

   ${}{\#\left(G_{\mathfrak {q}}\right)}=ef\,,$

   wobei ${}e$ der gemeinsame Verzweigungsindex und ${}f$ der gemeinsame Trägheitsgrad der Primideale oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen