Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Einfache Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper  $K=Q(R)$  und sei  $K\subseteq L$  eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei $𝔮$ ein Primideal von $S$ über $𝔭$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Zerlegungsgruppe $G_{𝔮}$ ist genau dann trivial, wenn $𝔭$ voll zerlegt ist.
2. Die Zerlegungsgruppe $G_{𝔮}$ ist genau gleich $G$, wenn $𝔭$ unzerlegt ist.
3. Zu einem weiteren Primideal ${𝔮}^{\prime }$ oberhalb von $𝔭$ sind die Zerlegungsgruppen $G_{𝔮}$ und $G_{{𝔮}^{\prime }}$ isomorph.
4. Es ist

   $\mathrm{\#}\left(G_{𝔮}\right)=ef,$

   wobei $e$ der gemeinsame Verzweigungsindex und $f$ der gemeinsame Trägheitsgrad der Primideale oberhalb von $𝔭$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen