Dedekindbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt/Beweis

Beweis

Wir benutzen Fakt, also die bijektive Beziehung zwischen Idealen ${}\neq 0$ und effektiven Divisoren. Auf der Seite der Divisoren haben wir offenbar eine eindeutige Darstellung

${}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\sum _{i=1}^{k}r_{i}{\mathfrak {p}}_{i}\,$

mit geeigneten Primidealen ${}{\mathfrak {p}}_{i}$. Wendet man auf diese Darstellung die Abbildung ${}D\mapsto \operatorname {Id} (D)$ an, so erhält man links das Ideal zurück. Es genügt also zu zeigen, dass der Divisor rechts auf das Ideal ${}{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}$ abgebildet wird. Dies folgt aber direkt aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage