Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Divisor zu Ideal/Bemerkung

Man kann den Divisor zu einem Ideal auch durch

$\mathrm{div}\left(𝔞\right)=\min \{\mathrm{div}\left(f\right)\mid f\in 𝔞,f\ne 0\}$

definieren, wobei das Minimum über Divisoren komponentenweise erklärt ist. Es gibt im Allgemeinen kein Element, das an allen Primstellen simultan das Minimum annimmt. Da zu einem einzelnen Element  $0\ne f\in 𝔞$  der zugehörige Hauptdivisor nur an endlich vielen Stellen von $0$ verschieden ist, gilt das erst recht für den Divisor zu einem Ideal.

Die Ordnung ${\mathrm{ord}}_{𝔭}\left(𝔞\right)$ kann man auch als Ordnung des Ideals $\mathrm{ord}(𝔞R_{𝔭})$ im diskreten Bewertungsring $R_{𝔭}$ ansehen. Dabei ist $𝔞R_{𝔭}$ das Erweiterungsideal zu $𝔞$ in $R_{𝔭}$. Dieses Ideal hat einen Erzeuger $p^k$, wobei $p$ ein Primelement im diskreten Bewertungsring ist; die Ordnung ist dann $k$.