Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Verträglichkeit mit Operationen/Fakt

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich. Dann erfüllt die Zuordnung (für von ${}0$ verschiedene Ideale)

${\mathfrak {a}}\longmapsto \operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$

folgende Eigenschaften.

1. ${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {p}}\right)}=1\cdot {\mathfrak {p}}\,$

   für ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$.

2. ${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}\right)}=\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}+\operatorname {div} {\left({\mathfrak {b}}\right)}\,.$

3. Für ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}$ ist ${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}\geq \operatorname {div} \operatorname {div} {\left({\mathfrak {b}}\right)}$.

4. ${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}\right)}=\operatorname {min} \{\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)},\operatorname {div} {\left({\mathfrak {b}}\right)}\}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen