Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Verträglichkeit mit Operationen/Fakt/Beweis

Beweis

1. Für jedes Element ${}f\in {\mathfrak {p}}$ gilt auch ${}f\in {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ und daher ist ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 1$. Umgekehrt besitzt der diskrete Bewertungsring ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein Element ${}p$, das das maximale Ideal ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ erzeugt und die Ordnung ${}1$ hat. Man kann ${}p={\frac {a}{b}}$ mit ${}a,b\in R$ und ${}b\notin {\mathfrak {p}}$ schreiben. Dabei ist ${}a\in {\mathfrak {p}}$ und ${}a$ hat in ${}R_{\mathfrak {p}}$ die Ordnung ${}1$. Es sei nun ${}{\mathfrak {q}}\neq {\mathfrak {p}}$ ein weiteres Primideal ${}\neq 0$. Da beide Ideale maximal sind gibt es ein Element ${}g\in {\mathfrak {p}}$, ${}g\notin {\mathfrak {q}}$. Dieses hat dann in ${}{\mathfrak {q}}$ die Ordnung ${}0$.
2. Fixiere ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$. Sei ${}h\in {\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}$ und schreibe ${}h=\sum _{i=1}^{k}f_{i}g_{i}$ mit ${}f_{i}\in {\mathfrak {a}}$ und ${}g_{i}\in {\mathfrak {b}}$. Dann ist nach Fakt

   ${}\operatorname {div} {\left(h\right)}\geq \operatorname {min} \{\operatorname {div} {\left(f_{i}g_{i}\right)}:i=1,\ldots ,k\}\geq \operatorname {min} \{\operatorname {div} {\left(f_{i}\right)}+\operatorname {div} {\left(g_{i}\right)}:i=1,\ldots ,k\}\geq \operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}+\operatorname {div} {\left({\mathfrak {b}}\right)}\,.$

   Für die Umkehrung schreiben wir ${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}=\sum _{\mathfrak {q}}n_{\mathfrak {q}}\cdot {\mathfrak {q}}$ und ${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {b}}\right)}=\sum _{\mathfrak {q}}m_{\mathfrak {q}}\cdot {\mathfrak {q}}$. Zu fixiertem ${}{\mathfrak {p}}$ gibt es ein ${}f\in {\mathfrak {a}}$ und ein ${}g\in {\mathfrak {b}}$ mit ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)=n_{\mathfrak {p}}$ und ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)=m_{\mathfrak {p}}$. Dann ist ${}fg\in {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ und

   ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(fg)=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)+\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)=n_{\mathfrak {p}}+m_{\mathfrak {p}}\,.$

3. Das ist trivial.
4. Die Abschätzung „${}\geq$“ folgt aus ${}\operatorname {div} {\left(f+g\right)}\geq {\min {\left(\operatorname {div} {\left(f\right)},\operatorname {div} {\left(g\right)}\right)}}$. Die Abschätzung „${}\leq$“ folgt aus Teil (3).

Zur bewiesenen Aussage