Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Verträglichkeit mit Operationen/Fakt/Beweis

Beweis

1. Für jedes Element  ${}f\in {\mathfrak {p}}$  gilt auch  ${}f\in {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$  und daher ist  ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 1$.  Umgekehrt besitzt der diskrete Bewertungsring ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein Element ${}p$, das das maximale Ideal ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ erzeugt und die Ordnung ${}1$ hat. Man kann  ${}p={\frac {a}{b}}$  mit  ${}a,b\in R$  und  ${}b\notin {\mathfrak {p}}$  schreiben. Dabei ist  ${}a\in {\mathfrak {p}}$  und ${}a$ hat in ${}R_{\mathfrak {p}}$ die Ordnung ${}1$. Es sei nun  ${}{\mathfrak {q}}\neq {\mathfrak {p}}$  ein weiteres Primideal ${}\neq 0$. Da beide Ideale maximal sind gibt es ein Element  ${}g\in {\mathfrak {p}}$,   ${}g\notin {\mathfrak {q}}$.  Dieses hat dann in ${}{\mathfrak {q}}$ die Ordnung ${}0$.
2. Fixiere ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$. Sei  ${}h\in {\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}$  und schreibe  ${}h=\sum _{i=1}^{k}f_{i}g_{i}$  mit  ${}f_{i}\in {\mathfrak {a}}$  und  ${}g_{i}\in {\mathfrak {b}}$.  Dann ist nach Fakt

   ${}\operatorname {div} {\left(h\right)}\geq \operatorname {min} \{\operatorname {div} {\left(f_{i}g_{i}\right)}:i=1,\ldots ,k\}\geq \operatorname {min} \{\operatorname {div} {\left(f_{i}\right)}+\operatorname {div} {\left(g_{i}\right)}:i=1,\ldots ,k\}\geq \operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}+\operatorname {div} {\left({\mathfrak {b}}\right)}\,.$

   Für die Umkehrung schreiben wir ${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}=\sum _{\mathfrak {q}}n_{\mathfrak {q}}\cdot {\mathfrak {q}}$ und ${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {b}}\right)}=\sum _{\mathfrak {q}}m_{\mathfrak {q}}\cdot {\mathfrak {q}}$. Zu fixiertem ${}{\mathfrak {p}}$ gibt es ein  ${}f\in {\mathfrak {a}}$  und ein  ${}g\in {\mathfrak {b}}$  mit  ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)=n_{\mathfrak {p}}$  und  ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)=m_{\mathfrak {p}}$.  Dann ist  ${}fg\in {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$  und

   ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(fg)=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)+\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)=n_{\mathfrak {p}}+m_{\mathfrak {p}}\,.$

3. Das ist trivial.
4. Die Abschätzung „${}\geq$“ folgt aus  ${}\operatorname {div} {\left(f+g\right)}\geq {\min {\left(\operatorname {div} {\left(f\right)},\operatorname {div} {\left(g\right)}\right)}}$.  Die Abschätzung „${}\leq$“ folgt aus Teil (3).

Zur bewiesenen Aussage