Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Verträglichkeit mit Operationen/Fakt/Beweis

Beweis

1. Für jedes Element  $f\in 𝔭$  gilt auch  $f\in 𝔭R_{𝔭}$  und daher ist  ${\mathrm{ord}}_{𝔭}\left(f\right)\ge 1$.  Umgekehrt besitzt der diskrete Bewertungsring $R_{𝔭}$ ein Element $p$, das das maximale Ideal $𝔭R_{𝔭}$ erzeugt und die Ordnung $1$ hat. Man kann  $p=\frac{a}{b}$  mit  $a,b\in R$  und  $b\notin 𝔭$  schreiben. Dabei ist  $a\in 𝔭$  und $a$ hat in $R_{𝔭}$ die Ordnung $1$. Es sei nun  $𝔮\ne 𝔭$  ein weiteres Primideal $\ne 0$. Da beide Ideale maximal sind, gibt es ein Element  $g\in 𝔭$,   $g\notin 𝔮$.  Dieses hat dann in $𝔮$ die Ordnung $0$.
2. Fixiere ein Primideal $𝔭$. Sei  $h\in 𝔞\cdot 𝔟$  und schreibe  $h=\sum _{i=1}^k{f}_i{g}_i$  mit  $f_i\in 𝔞$  und  $g_i\in 𝔟$.  Dann ist nach Fakt

   $\mathrm{div}\left(h\right)\ge \min \{\mathrm{div}\left(f_i{g}_i\right):i=1,\dots ,k\}\ge \min \{\mathrm{div}\left(f_i\right)+\mathrm{div}\left(g_i\right):i=1,\dots ,k\}\ge \mathrm{div}\left(𝔞\right)+\mathrm{div}\left(𝔟\right).$

   Für die Umkehrung schreiben wir $\mathrm{div}\left(𝔞\right)=\sum _{𝔮}{n}_{𝔮}\cdot 𝔮$ und $\mathrm{div}\left(𝔟\right)=\sum _{𝔮}{m}_{𝔮}\cdot 𝔮$. Zu fixiertem $𝔭$ gibt es ein  $f\in 𝔞$  und ein  $g\in 𝔟$  mit  ${\mathrm{ord}}_{𝔭}\left(f\right)=n_{𝔭}$  und  ${\mathrm{ord}}_{𝔭}\left(g\right)=m_{𝔭}$.  Dann ist  $fg\in 𝔞𝔟$  und

   ${\mathrm{ord}}_{𝔭}\left(fg\right)={\mathrm{ord}}_{𝔭}\left(f\right)+{\mathrm{ord}}_{𝔭}\left(g\right)=n_{𝔭}+m_{𝔭}.$

3. Das ist trivial.
4. Die Abschätzung „$\ge$“ folgt aus  $\mathrm{div}(f+g)\ge min(\mathrm{div}\left(f\right),\mathrm{div}\left(g\right))$.  Die Abschätzung „$\le$“ folgt aus Teil (3).

Zur bewiesenen Aussage