Dedekindbereich/Restklassenring/Hauptidealring/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt und Fakt ist ${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}$ mit Primidealen ${}{\mathfrak {p}}_{j}$ und

${}R/{\mathfrak {a}}=R/{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times R/{\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$

Ein Produktring ist genau dann ein Hauptidealring, weder jeder Faktorring ein Hauptidealring ist. Es muss also gezeigt werden, dass ${}R/{\mathfrak {p}}^{r}$ ein Hauptidealring ist. Wegen

${}R/{\mathfrak {p}}^{r}=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}^{r}R_{\mathfrak {p}}\,$

ist dieser Restklassenring aber ein Restklassenring des diskreten Bewertungsringes

${}R_{\mathfrak {p}}$, und somit ein Hauptidealring.

Zur gelösten Aufgabe