Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Gütertransport

Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen

Modellierungsthema

Bei unserem Modellierungsthema betrachten wir den Transport von der Milch als Rohstoff, von den Zulieferer (Bauernhöfe) bis zu den Produktionsstätten der Firma Hochwald.

Aus betriebswirtschaftlicher Sicht muss jedes Unternehmen vorab das ökonomische Prinzip festlegen. Hierbei bietet sich das Maximalprinzip an, da die bestmögliche Kombination zwischen Mitteleinsatz und Ergebnis erzielt werden soll.

Da das Unternehmen gewinnorientiert ist, sollen sämtliche Kosten der Logistik möglichst gering gehalten werden. Dies geschieht unter sinnvollem Einsatz von vorhandenen Kapazitäten, Infrastrukturen und Berücksichtigung von Umwelteinflüssen/Randbedingungen.

Bei der Logistik wird daher die Absatzmenge, die Produktionsdauer, Lagerkosten und die Transportkosten berücksichtigt. Damit es beim Transport nicht zu Lieferschwierigkeiten kommt, müssen neben der Verfügbarkeit von Gütern und Transportmittel, auch der Zeitaufwand der Transportstrecke überprüft werden.

Deshalb werden neben den Produktionskosten, auch die Transportkosten berücksichtigt, um den Verkehr beim Transport von Produkten möglichst effizient zu gestalten.

Mögliche einzuholende Daten

• Spritverbrauch der jeweiligen Transportmittel
• Länge und Zeitaufwand der jeweiligen Strecken
• Standorte der Bauernhöfe und Produktionsstätten
• Menge der produzierten Milch je Bauernhof
• Menge der Milch, die in den Produktionsstätten weiterverarbeitet wird
• Anzahl der benötigten Mitarbeiter für den Transport
• Abnahmemenge der jeweiligen Güter am Zielort
• Wann/ In welcher Höhe stehen die Güter für den Transport bereit?

Zielsetzung

Mit der Einschränkung auf 14 Bauernhöfe und sieben Produktionsstätten, sollen die Kosten für den Milchtransport zwischen den Zulieferer und Produktionsstätten berechnet werden. Hierfür soll eine Kosten-Mengenmatrix erstellt werden. Anschießend soll durch einen Optimierungsprozess, schrittweise die beste Möglichkeit einer Entscheidungssituation gewählt werden. Die Kosten werden somit schrittweise gesenkt, um im Idealfall die geringsten Kosten, und somit das Gewinnmaximum, zu erreichen.

Niveauzuordnung

Sekundarstufe I

• tabellarische Datenauswertung
• Aufstellen einer Formel zum Berechnen der Streckenkosten
• Menge produzierter Milch pro Bauernhof berechnen
• Rechnen mit Einheiten
• Graphische Darstellung
• Daten in ein Programm übertragen, einpflegen und auswerten
• Mit Bezügen arbeiten

Sekundarstufe II

• Matrix aufstellen mithilfe von Tabellenkalkulation
• Näherungslösung durch ausprobieren finden
• Gesamtkosten bestimmen durch komponentenweise Matrixmultiplikation:

• Kostenmatrix
• Mengenmatrix

Universität

• schrittweise Optimierung mithilfe des Gütertransportalgorithmus
• Darstellung der Daten in der Tabellenkalkulation
• Matrizen berechnen

Modellierungszyklen

Erster Modellierungszyklus

Ziel

Im ersten Modellierungszyklus sollen Daten zu den Standorten der Bauernhöfe und Produktionsstätten eingeholt werden.

Randbedingungen

• Hierbei haben wir uns zur Vereinfachung auf 14 Bauernhöfe und sieben Produktionsstätten beschränkt.
• Des Weiteren wird die Milch der 14 Zulieferer, auf die sieben Produktionsstätten vollständig verteilt.

Zusätzlich sollen die Transportkosten zwischen Bauernhöfen und Produktionsstätten ermittelt werden.

Randbedingungen

• Es wird eine Fahrt berücksichtigt, da es sich um einen Vergleich handelt und eine mehrfach Betrachtung lediglich eine einheitliche Erhöhung um den selben Faktor ist.
• Die Fahrer werden in unserer Betrachtung viá Gehalt, anstatt Lohn vergütet.

Abschließend benötigen wir noch:

• Die Menge der Milchproduktion pro Bauernhof, innerhalb eines Jahres
• Die Menge der Milch, die die Hochwald-Produktionsstätten pro Jahr verarbeiten können.

Mithilfe dieser Daten soll zunächst jeder Produktionsstätte ein oder mehrere Bauernhöfe zugeordnet, die Gesamtkosten für den Transport bestimmt und eine Kosten-Mengenmatrix aufgestellt werden.

Vorgehen

Zunächst einmal wurden mit Google Maps die Entfernungen in km zwischen den Bauernhöfen und Produktionsstätten ermittelt.

Anschließend wurden diese Strecken mit dem ... verrechnet:

• durchschnittlichen Spritpreis für 1l Diesel für Lastkraftwagen im Jahr 2018 (1,283€)
• durchschnittlichen Verbrauch eines 40Tonners (31,9l)

Daraus ergibt sich folgende Formel:

$Transportkosten=({\frac {(31,9l\times 1,283\mathrm {\euro} \times Entfernung)}{100}})$

Daraus folgt die Transportkostenmatrix:

Außerdem benötigen wir für eine vollständige Kosten-Mengenmatrix, die produzierte Milch pro Bauernhof. Bei vier Bauernhöfe (rot) konnte keine genaue Anzahl der Kühe ermittelt werden. Diese wurden anhand der Größe näherungsweise geschätzt.

Hierfür ergibt sich folgende Formel:

$MilchinMiokg=({\frac {({\frac {Milch}{Kuh}}\times AnzahlderKuehe)}{1000000}})$

Zudem benötigen wir noch die Menge der benötigten Milch pro Produktionsstätte:

Daraus ergibt sich folgendes Verteilungsbild, für die Bauernhöfe und Produktionsstätten:

Jeder LKW hat ein Fassungsvolumen von 25.000kg Milch.

Daraus ergibt sich folgende Formel:

${\frac {Transportkosten}{kg}}=({\frac {({\frac {Transportkosten}{km}})}{25000}})$

Zur Vereinfachung wurden Zwischenschritte eingebaut:

1. Ermittlung der Wertigkeit, der einzelnen Elemente in der Kostenmatrix:

   

2. Zuteilung der maximal möglichen Milchmenge zu den Produktionskosten, in Abhängigkeit von der Wertigkeit der n-Elemente:
   1. Es wird von 1...n aufwärts aufgefüllt
   2. Bei vollständiger Lieferung des Bauernhofes, wird ein Element, dass in der Rangfolge als nächstes kommt, übersprungen, bis alle Produktionsstätten vollständig beliefert wurden.
   3. Mengenabgabe in Mio kg

Ermittlung der Kosten-Mengenmatrix:

• Kosten sind zunächst in Mio kg. Die Umrechnung erfolgt ebenfalls in diesem Schritt.
• Folgende Formel ist hierfür ausschlaggebend:

$Kosten-Mengenmatrix=(TransportkostenCij\times MengenXij\times 1000000)$

Ergebnis

Für diesen Optimierungsprozess ergibt sich ein Gesamtkostenergebnis von:

3.752.420,28€

Zweiter Modellierungszyklus

Ziel/Annahmen

Im Zweiten Modellierungszyklus wollen wir mit den bereits erhobenen Daten einen Optimierungsprozess durchführen, der uns im Idealfall geringere Gesamttransportkosten, als im ersten Zyklus, liefert.

Vorgehen

Zunächst einmal benötigen wir eine Ausgangslage, hierfür wird die Nord-West-Methode angewendet:

• Erstellung einer Matrix, bei der die Zeilen die Abnahmemenge der Produktionsstätten und die Spalten die Liefermenge der Bauernhöfe darstellen
• Vorgehensweise:

1. Es wird beim ersten Element in der Matrix begonnen.
2. Falls möglich, wird die komplette Liefermenge von B1 an P1 geliefert.
3. Sollte P1 gesättigt sein, so wird die restliche Liefermenge von B1 an P2 geliefert.
4. Sollte P1 nicht gesättigt sein, so wird die fehlende Milch von B2 geliefert.
5. Dieses Schema wird solange fortgeführt, bis alle Liefermengen an die Produktionsstätten verteilt sind und sämtliche Summen der Spalten und Zeilen null ergeben.
6. Es folgt eine Stufenform.

Kosten-Mengenmatrix:

$Nord-West-Kosten=(MengenXij\times TransportkostenCij)$

Ergebnis

Für die Nord-West-Methode ergibt sich ein Gesamtkostenergebnis von:

5.902.319,21€

1. Optimierungsprozess

Ziel/Annahmen

Im ersten Optimierungsprozess des zweiten Zyklus, soll erreicht werden, dass das Gesamtkostenergebnis schrittweise geringer wird. Im Optimalfalls sogar geringer, als bei unserem modellhaften Zyklus aus SEK II.

Vorgehen

Aufbauend auf der Ausgangslage, soll nun schrittweise optimiert werden. Für den ersten Optimierungsprozess des zweiten Zyklus, wird immer die erste mögliche Optimierung gewählt, bei der folgende Bedingungen erfüllt ist:

1. x=0 und c_ij ≤ v_j – u_i
2. Suche nach einem Viereck, dass in den selben Zeilen einen Wert für x_ij hat, wie die Zeilen in der ausgewählten Spalte:
   1. Wahl des zu optimierenden Elementes (rot)
      1. Hilfsmatrix, zur Bestimmung der zu optimierenden Elemente:

         

      2. x=1, Optimierung möglich (grau hinterlegte Felder in der kompletten Matrix)
      3. x=0, keine Optimierung möglich
   2. Spalte des optimierenden Elementes ist Grundlage für die Wahl einer weiteren Zeile mit einem Wert x_ij (direkt über rot)
   3. Wahl der zweiten Spalte, bei denen in beiden zuvor ausgewählten Zeilen ein Wert für x_ij steht
3. Wenn beide Bedingung gültig sind, haben wir das zu optimierende Viereck gefunden (dreimal grün, einmal rot)

   

Zur Vereinfachung, wurden Zwischenschritte eingebaut:

• Ermittlung der Hilfsvariable v, mit x_ij ≠ 0:

u_i+c_ij=v_j

• Ermittlung der Hilfsvariable u, mit x_ij ≠ 0:

c_ij=v_j-u_i

• u_i stellen den Einkaufspreis und die v_j den Verkaufspreis dar

Man erhält folgende Matrix:

Nun optimieren wir die Zelle in der x_ij=0 gilt:

1. wir suchen min(horizontal, vertikal) von der zu optimierenden Zelle
2. wir setzen das gefundene min, in die optimierende Stelle (rot) ein: x_ij=0 + min
3. Wir ziehen min von der horizontalen und vertikalen Zelle ab
4. Wir addieren min zu dem Wert in der diagonalen Zelle

Das heißt, wir gehen wie folgt vor:

131,04-103,50	144,00	11,53+103,50
0+103,50	3912,80	103,50-103,50

und erhalten dann folgendes Ergebnis:

Im Anschluss müssen alle Hilfsvariablen neu berechnet werden:

Optimierungsschritt war erfolgreich, wenn das Gesamtkostenergbnis kleiner, als das vorherige Gesamtkostenergebnis ist. Gesamtkosten erstes Tetha: 5,893,415.88 €

Diese Vorgehensweise, wird so lange wiederholt, bis keine Optimierung mehr möglich ist!

Für den ersten Optimierungsprozess des zweiten Zyklus, haben wir diese Vorgehensweise 39 mal wiederholt, bis wir folgende Endmatrix erhalten haben:

Ergebnis

Für den ersten Optimierungsprozess des zweiten Zyklus ergibt sich nach 39 Tethas ein Gesamtkostenergebnis von: 3,812,066.59€

Reflexion

Nach 39 Optimierungsschritten konnten wir kein Tetha mehr finden, für das unsere Bedingungen gelten, es war also keine Optimierung mehr möglich. Wir wollen weitere Optimierungen in alternativen Reihenfolgen durchführen und die Ergebnisse vergleichen. Des Weiteren ist bereits jetzt ersichtlich, dass das Ergebnis von unserem Optimierungsprozess aus SEK II, zu geringeren Kosten und somit einem höheren Gewinn führt.

2.Optimierungsprozess

Ziel/Annahme

Unsere Annahmen sind die Gleichen wie im 1.Optimierungsprozess. Ziel des zweiten Optimierungsprozesses des zweiten Zyklus ist es, das Gesamtkostenergebnis vom 1.Optimierungsprozess zu unterbieten.

Vorgehen

Das Vorgehen im zweiten Optimierungsprozess ist das Gleiche wie im Ersten. Der einzige Unterschied liegt darin, dass nicht die erste sondern die letzte mögliche Optimierung (Umkehrung vom ersten Optimierungsprozess) gewählt wird.

Dadurch erhalten wir das folgende zu optimierende Viereck:

Im Gesamten ergibt sich mit den Schritten wie zuvor folgende Matrix:

Im zweiten Optimierungsprozess konnten insgesamt 32 Optimierungen durchgeführt werden mit folgendem Endergebnis:

Ergebnis

Für den zweiten Optimierungsprozess ergibt sich nach 32 Tethas ein Gesamtkostenergebnis von 3.836.803,02€

Reflexion

Da das Endergebnis dieses Optimierungsprozess sowohl schlechter als das Ergebnis unseres Optimierungsprozess aus SekII ist, als auch den ersten Optimierungsprozess nicht unterbietet, wollen wir eine weitere Optimierung durchführen. Dazu werden die zu optimierenden Stellen nach einem anderen Prinzip ausgewählt.

3.Optimierungsprozess

Ziel/Annahme

Unsere Annahmen sind die Gleichen wie in den Vorhergehenden Optimierungsprozessen. Ziel des dritten Optimierungsprozesses des zweiten Zyklus ist es, alle bisherigen Gesamtkostenergebnisse zu unterbieten und hoffentlich die bis jetzt beste Lösung zu erhalten.

Vorgehen

Das Vorgehen im zweiten Optimierungsprozess ist das Gleiche wie im Ersten. In unserem dritten Optimierungsprozess schauen wir bei jeder optimierbaren Zelle, wie groß min(Zelle horizontal von rot, Zelle vertikal von rot) ist und optimieren die Zelle mit dem größten Minimum.

Wir optimieren an folgender Stelle:

Im Gesamten ergibt sich mit den Schritten wie zuvor folgende Matrix:

Im dritten Optimierungsprozess konnten insgesamt 23 Optimierungen durchgeführt werden mit folgendem Endergebnis:

Ergebnis

Für den dritten Optimierungsprozess ergibt sich nach 23 Tethas ein Gesamtkostenergebnis von 3.728.108,26€

Reflexion

Der 3.Optimierungszyklus benötigte die wenigsten Optimierungsschritte und konnte sogar das Ergebnis aus SekII unterbieten. Es scheint die schnellste und beste Vorgehensweise zu sein.

Zuordnung des Themas zu den Nachhaltigkeitszielen der Vereinten Nationen

• SDG 8: Decent Work and Economic Growth

Durch das Herausarbeiten eines kostengünstigen Gütertransportes, wird der Wirtschaftswachstum unterstützt. Die Firma Hochwald stellt hier nur ein Fallbeispiel dar. Der Prozess kann auch für alle anderen Firmen angewendet werden.

• SDG 9: Industry, Innovation and Infrastructure

Die Milch soll möglichst effizient und kostengünstig geliefert werden. Dadurch wird ebenfalls die Infrastruktur gefördert.

• SDG 2: Zero Hunger

Durch die Verringerung der Transportkosten für die Firma Hochwald, könnten diese ihre Milchprodukte günstiger anbieten. Somit kann Menschen mit nur wenig Geld geholfen werden.

Fazit

Interpretation der Ergebnisse

Alle drei Modellierungszyklen starten mit der gleichen Ausgangslage, nämlich der Nord-West Ergebnisse. Auffällig dabei ist, dass sowohl die Anzahl der Optimierungen, als auch das Gesamtkostenergebnis in jedem Zyklus unterschiedlich ist.

Der 3.Optimierungszyklus hat hierbei zum Besten Ausgang geführt. Er benötigte die wenigsten Optimierungsschritte und konnte als Einziger die Gesamtkosten des Optimierungsprozess aus SEKII unterbieten.

Die Ergebnisse verdeutlichen, dass der Gütertransportalgorithmus keine optimale Lösung hervorbringt, sondern lediglich zu Verbesserungen führt. Es ist also zu erwarten, dass die Gesamtkosten aus dem 3.Optimierungszyklus noch immer nicht die optimalsten sind.

Abschließend kann man sagen, dass die Durchführung der Optimierungsprozesse durchaus eine anwendungsorientierte Methode darstellen, die durchaus von großem Nutzen ist. Unser angestrebtes Ziel, die kosten zu Minimieren und somit den Gewinn zu maximieren, ist bei allen drei Zyklen erfolgreich verlaufen.

Alternativen

Modellierungsalternativen

Alternativ zur Optimierung von Transportkosten zu Gunsten von Hochwald, könnte eine Modellierung in Hinblick auf die Umwelt durchgeführt werden. Dazu würde mittels Gütertransportalgorithmus die Menge des von den LKWs ausgestoßenen CO₂ verringert werden. Dazu müsste nicht die Milchmenge, sondern die Anzahl der LKWs als ausgewählte Größe betrachtet werden.

Programmalternativen

Um den Gütertransportalgorithmus durchzuführen, könnte anstelle von der Tabellenkalkulation auch Octave verwendet werden. Der Vorteil dabei wäre, dass nicht jeder einzelne Optimierungsschritt manuell eingegeben werden müsste. Zudem können bei Octave einzelne Variablen verändert werden und anschließend wird der komplette Algorithmus ohne viel Aufwand erneut ausgeführt. Das Tabellenkalkulationsprogramm kommt hierbei an seine Grenzen.

Dennoch haben wir uns für eine Modellierung mit LibreOffice Calc entschieden, da hier mit Zellbezügen gearbeitet werden kann. Zudem haben wir den ersten Modellierungszyklus in LibreOffice Calc durchgeführt und waren schon in das Programm eingearbeitet.

Literatur

• Hochwald Foods GmbH (2018). Geschäftsbericht Hochwald-Gruppe. Aufgerufen am 12. Dezember 2019 vonhttps://www.hochwald.de/fileadmin/Gesch%C3%A4ftsbericht/GB_2018/GB_2018_Auszug.pdf.
• Hochwald Foods GmbH (o.J.). Von hier kommt's. Aufgerufen am 12.Dezember 2019 von https://www.hochwald-milchideen.de/de/von-hier-kommts.html.
• Hochwald Foods GmbH (o.J.). Urlaub auf dem Bauernhof. Aufgerufen am 12.Dezember 2019 von https://www.hochwald-milchideen.de/de/urlaub-auf-dem-bauernhof.html.
• 2019 ADAC (10.09.2019). So haben sich die Spritpreise seit 1950 entwickelt. Aufgerufen am 16. Dezember 2019 von https://www.adac.de/verkehr/tanken-kraftstoff-antrieb/deutschland/kraftstoffpreisentwicklung/.
• Fisch und Fischl GmbH (o.J.). Spritmonitor.de. Aufgerufen am 16.Dezember 2019 von https://www.spritmonitor.de/de/detailansicht/720140.html.

Quellen zur Ermittlung der Anzahl der Milchkühe

Bauernhof Hörscheid: Landwirtschaftsverlag Hessen GmbH(o.J.). Ein Wohlfühlstall für Kühe. Aufgerufen am 13.Januar 2020 von https://www.lw-heute.de/?redid=31857.

Bauernhof Battenberg-Berghofen: Landwirtschaftsverlag Hessen GmbH(2015). Neuer Boxenlaufstall für 350 Kühe im Betrieb Rindte. Abgerufen am 13.Januar 2020 von https://www.lw-heute.de/neuer-boxenlaufstall-350-kuehe-betrieb-rindte.

Bauernhof Lich-Muschenheim: Mittelhessische Druck- und Verlagshaus GmbH & Co. KG(2011). 80 Milchbauern sahen sich auf Hof in Muschenheim um. Abgerufen am 13. Januar 2020 von https://www.giessener-allgemeine.de/kreis-giessen/lich-ort848773/milchbauern-sahen-sich-muschenheim-12085648.html.

Bauernhof Ippenschied: Familien Schneberger und Gill- Steinackerhof(o.J.). Unser Bauernhof. Abgerufen am 13.Januar 2020 von https://www.familienurlaub-steinackerhof.de/html/unser_bauernhof.html.

Bauernhof Wincheringen: Ferienhof Lahr GbR(o.J.). Unser Bauernhof. Abgerufen am 13.Januar 2020 von http://www.ferienhof-lahr.de/Unser-Bauernhof.

Bauernhof Monschau: Victorhof(o.J.). Hofinfos von A -Z. Abgerufen am 13.Januar 2020 von https://www.victorhof.de/aktuelles/tipps-vor-anreise/hofinfos-a-z/.

Bauernhof Uedem: Poenenhof(o.J.). Ein Bauernhof der Superlativen. Abgerufen am 13. Januar 2020 von https://poenenhof.chayns.net/super.

Bauernhof Wiblingwerde: Verein zur Förderung des Agrotourismus und des ländlichen Raumes(o.J.). Der Bauernhof Knipps stellt sich vor. Abgerufen am 13.Januar 2020 von http://www.agrotourismus.de/bauernhof-knipps.html.

Bauernhof Hofgeismar: Landwirtschaftsverlag Hessen GmbH(2016). Tag des offenen Hofes in Hofgeismar. Abgerufen am 13. Januar 2020 von https://www.lw-heute.de/tag-offenen-hofes-hofgeismar.

Bauernhof Tann (Rhön): Landwirtschaftsverlag Hessen GmbH(2016). Doppelnutzungsrasse hat in der Rhön einen hohen Stellenwert. Abgerufen am 13.Januar 2020 von https://www.lw-heute.de/doppelnutzungsrasse-rhoen-stellenwert.

Siehe auch

• Transport