Derivation/Allgemeine Produktregel/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$-Algebra, ${}M$ ein ${}R$-Modul und ${}D\colon A\rightarrow M$ eine ${}R$-Derivation. Zeige

${}D{\left(f_{1}\cdots f_{r}\right)}=f_{2}\cdots f_{r}D{\left(f_{1}\right)}+f_{1}f_{3}\cdots f_{r}D{\left(f_{2}\right)}+\cdots +f_{1}\cdots f_{r-1}D{\left(f_{r}\right)}\,$

für

${}f_{1},\ldots ,f_{r}\in A$.

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