Determinante/Null, linear abhängig und Rangeigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

Die Beziehung zwischen Rang, Invertierbarkeit und linearer Unabhängigkeit wurde schon in Fakt gezeigt. Es seien die Zeilen linear abhängig. Wir können nach Zeilenvertauschungen annehmen, dass ${}v_{n}=\sum _{i=1}^{n-1}s_{i}v_{i}$ ist. Dann ist nach Fakt und Fakt

${}\det M=\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\\\sum _{i=1}^{n-1}s_{i}v_{i}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n-1}s_{i}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{i}\end{pmatrix}}=0\,.$

Es seien nun die Zeilen linear unabhängig. Dann kann man durch Zeilenvertauschungen, Skalierung und Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile die Matrix sukzessive zur Einheitsmatrix transformieren. Dabei ändert sich die Determinante stets durch einen von ${}0$ verschiedenen Faktor. Da die Determinante der Einheitsmatrix nach Fakt gleich ${}1$ ist, muss auch die Determinante der Ausgangsmatrix ${}\neq 0$ sein.

Zur bewiesenen Aussage