Determinantenfunktion/Eindeutig bestimmt/Fakt/Beweis
Beweis
Die
Determinante
besitzt aufgrund von
Fakt,
Fakt
und
Fakt
die angegebenen Eigenschaften.
Zur Eindeutigkeit. Zu jeder Matrix gibt es eine Folge von elementaren Zeilenumformungen derart, dass das Ergebnis eine obere Dreiecksmatrix ist. Dabei ändert sich nach
Fakt
bei einer Vertauschung von Zeilen der Wert der Determinantenfunktion mit dem Faktor , bei der Umskalierung einer Zeile um den Skalierungsfaktor und bei der Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile gar nicht. Daher ist eine Determinantenfunktion durch die Werte auf einer oberen Dreiecksmatrix bzw. nach Skalierung und Zeilenaddition sogar durch den Wert an der Einheitsmatrix festgelegt.
